关于“追赶小明”的深入思考

(整期优先)网络出版时间:2021-01-15
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关于“追赶小明”的深入思考

李博

陕西省西安市雁塔区曲江第一中学 ,陕西 西安 710062

著名的荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过:“与其说学习数学,倒不如说学习 ‘数学化’”.方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型.北师大版七年级上册第五章一元一次方程的第6节,利用方程解决行程问题中的追及问题,这一节是基于前三节方程的应用,进一步发展学生的数学抽象、数学建模等能力,发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力.本节课对于学生数学化思想的建立起着重要的作用.

学生在小学阶段已经对行程问题(相遇、追及)有所了解.小学阶段主要是用逆向的思维,结合公式解决问题,学生对行程问题的本质并不了解,所以造成了很多学生面对追及问题“谈虎色变”.基于这种现状,本文意在通过层层深入的探究、交流、探讨,引导学生掌握解决问题的重要方法,能对数学的实际应用有更深刻的认识.

一、基本模型

1.若小明每分钟走90米,则他5分钟能走_____米.

2.小明家距离大雁塔1200米,他以4米/秒的速度骑共享单车到达大雁塔需要_____分钟.

3.小明用4分钟时间绕操场跑了两圈(每圈400米),那么他的速度是_____米/分.

路程、时间、速度等是解决相遇、追及问题的基本概念,清楚概念之间的关系,才能灵活解决问题.

问题1.小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学.一天,小明以80米/分的速度出发,5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明,并且在途中追上了他.

(1)爸爸追上小明用了多长时间?

(2)追上小明时,距离学校还有多远?

分析: 利用线段图来分析行程问题,关系会很清楚.


小明 80×5 80x


爸爸 180 x


爸爸追上小明时:

①两人所走路程相等

②爸爸全程所用的时间=5分钟后小明行走用的时间

由上面的分析,可以根据路程关系列方程.

解:(1)设爸爸追上小明用了x分钟.根据题意,得

180 x=80 x+80×5

化简得 100 x=400

x=4

所以,爸爸追上小明用了4分钟.

(2) 180×4=720(m)

1000-720=280(m).

所以,爸爸追上小明时,距离学校还有280 m.

二、问题再探

问题2.育红学校七年级学生步行到郊外旅行.七(1)班的学生组成前队,步行速度为4km/h,七(2)班的学生组成后队,速度为6km/h.前队出发1h后,后队才出发,同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络,他骑车的速度为12km/h. 根据上面的事实提出问题并尝试去解答.

分析:

前队 4×1 4x


后队 6x


解:(1)设后队追上前队用了x小时,根据题意得

6x=4 x+4×1

化简得

x=2

所以,后队追上前队用了2小时.

(2) 12×2=24(km)

所以,后队追上前队时,通讯员共骑行了24 km.

通过上面两个问题,揭示追及问题的本质:

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三、模型演变

问题3 一列火车长120米,速度为120千米/时, 一辆越野车的速度为160千米/时,当火车前进时, 越野车与火车同向而行,则越野车由火车尾追至火车头需要多少秒?(越野车车身长不计)

行程问题中,往往要考虑到车身长,此类问题也可以通过画线段图来分析.需注意火车在行驶的过程中,所走过的路程的表示.

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线段图可以简画为:


火车 火车车长


越野车

由线段图,发现在追及时间内,越野车行驶过的路程比火车行驶过的路程少了一个火车车长.

解:120米=0.12千米

设越野车追上火车用了x小时,根据题意得

160x=120 x+0.12

化简得

x=0.003

0.003小时=10.8秒

所以,后队追上前队用了10.8秒.

越野车追火车这一问题中,需要考虑火车车长,实际上可以看做是越野车追火车车头的问题,也即爸爸追小明的问题.所有的考虑车长的追及问题,实际上都可以转化为基本模型 “爸爸追小明”.

问题4.在高速公路上,一辆长4米,速度为 116千米/时的轿车准备超越一辆长为12米,速度为 100千米/时的卡车,则桥车从开始追及到超越卡车,需要花费的的时间是多少?

此类生活问题,可以将轿车尾看作基本模型中的 “爸爸”,而卡车头是基本模型中的“小明”,6001299666bea_html_afffdc28b2c2b691.gif ,问题迎刃而解.至此,应用“追赶小明”这一基本模型,所有的追及问题都可以有效解决.