《两数和乘以这两数的差》教案

韩素琴

教材分析

本节课选自华师大版八年级上册第12章第三节内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法．因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一．

学情分析

1.学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能．通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯．

2．学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性．

教学目标

1. 知识与技能

了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能应用公式进行计算。

2. 过程与方法

经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析和归纳能力。通过对公式验证，感受代数与几何的内在统一性，同时体会数形结合的思想方法。在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生思维能力和数学应用意识。

3. 情感态度和价值观

通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。在合作探究活动中让学生体验成功，增强自信。

教学重点

理解平方差公式，掌握公式结构特征。

教学难点

平方差公式的灵活应用。

教学方法

采用引导发现、启发讨论相结合的教学方法。

以“问”之方式启发学生深思，以“变”之方式诱导学生灵活善变，以“梳”之方式引导学生归纳总结。

课前准备

多媒体辅助教学。

教学过程

1. 创设情景，导入新课

用视频播放下面的生活场景：

王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果一样。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。

（设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣）

2. 学习目标，有的放矢

1. 理解两数和乘以这两数差的几何意义

2. 理解并掌握两数和乘以它们的差的公式结构并能正确运算

3. 新授

1. 回顾知识，尝试发现

1. 复习多项式乘以多项式的法则

(m＋n)(a＋b) =ma＋ mb＋ na ＋nb

2.相信你一定能算得又对又快

(1）（2x+y）（3x+y）=

(2）(x+a) (x-a) =

(3) (m+n) (m-n) =

(4) (a+b) (a-b) =

3.问题

（1）以上四道题的计算中，第(2）、(3)、 (4)题的答案与(1）题的答案有什么区别呢？

（2）满足什么条件的多项式相乘会出现这种情况？

（3）你能用一句话归纳出上述发现的规律吗？能不能用字母表示出你发现的规律呢？

4.总结概括

字母表示为：(a+b)(a-b)=a²-b²

语言文字表述为：两数的和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。

这个公式是两数和与两数差的乘法公式，简称为“平方差公式”

2. 数形结合，几何验证

刚才利用多项式乘以多项式法则，探究得到了平方差公式，那么能否用两种不同的方法表示同一种图形的方法，来验证这个平方差公式呢？

在这个验证的过程中，体现了我们的数形结合的数学思想方法。

我们已经验证了(a+b)(a-b)=a²-b²的正确性，以后在计算此类的多项式相乘时，可以运用公式直接得到结果。

2. 剖析公式，发现本质

观察平方差公式，同学们在小组内讨论，说出这个公式左右两边的特征。

特征一：

1. 特征

1. 等式左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差

2. 等式右边是这两个数（字母）的平方差

2. 例1

计算：（x+2y）（x-2y）

强调：这里的2y是一个整体，注意一定要加括号

2. 练习：

公式中的字母意义非常广泛，可以表示一个常数，也可以表示一个字母，还可以表示一个代数式。

做题的关键是“找准平方式公式的结构特征，找准哪一部分是公式中的a，哪一部分是公式中的b。

特征二

1. 特征

1. 相乘的两个二项式中，a表示完全相同的项，+b与-b表示互为相反数的项

2. 结果等于相同项的平方(a²)减去相反项的平方(a²-b²)

2. 例2

（1）（x+3）（x-3）

(2)(-3+2a)(-3-2a)

(四）应用迁移，巩固提高

1.判断下列各式是否正确，如果不正确，请指出错误之处，并说明理由。

（1）（2a+3b）（2a-3b）= 2a²-3b²

（2）(-2a+3）（-2a-3）= 3²-4a² =9-4a²

（3）（3x-y）（-3x+y）=(3x)²-(y)² =9x²-y²

2.例3

简便计算：9.8×10.2

5. 总结概括，自我评价

本节课你学会了哪些知识和方法？知道了什么数学思想？有什么收获或感想？还有什么疑问？

6. 当堂检测，及时反馈

1.请你判断以下的计算是否正确，并说明理由

⑴(m＋3n)(m－3n)=m² －3n² ( )

⑵(－ m＋3n)(m－3n)=m² －9n² ( )

⑶(－ m － 3n)( m ＋ 3n)=－m² －9n² ( )

⑷ (m－3n) (m－3n) = m² －9n² ( )

2. 计算：

⑴(2x＋ )(2x－ )

⑵(－ x＋2)(－ x－2)

⑶(－ 2x＋y)( 2x＋y)

⑷(y－ x)(－ x －y)

3.选做题

请同学们填一填（-n+m）（ ），使其能

运用平方差公式进行计算，你有多少种填法？

7. 作业

基础作业：习题12.3 第1题

提升作业：计算（a+b）（a-b）（a²+b²）（a⁴+b⁴）（a⁸+b⁸）

板书设计

12.3.1两数和乘以这两数的差

1. 平方差公式

2. 几何图形验证

3. 公式特征

教学反思

3. 新课学习

观察概括

1．师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。下面，请同学们计算这三道题目，并抽一名学生回答出最终的答案。

（x＋3）(x-3)= x2-9

(m＋5n)(m－5n)= =m2-25n2

(4＋y)(4－y)= =16-y2

2．紧接着请同学们思考：上面三个等式左右两边各有什么特征？

要给充足的时间让学生观察、思考、讨论，然后抽不同学生回答。

在学生回答的基础上，师生共同概括：

两数和乘以这两数的差等于这两数的平方差。

（设计意图：培养学生的观察能力、概括能力，语言表达能力）

3．概括完后我请同学们用一个数学等式来反映这种规律。

让学生思考后回答：

公式：（a＋b）(a－b)=a2－b2

（设计意图：培养学生的抽象思维能力及数学符号感，感受从特殊到一般）

探索验证

1．同学们，我们刚得到的（a＋b）(a－b)=a2－b2这一结论正确吗？你怎样验证其正确性？

学生很容易想到用计算的办法来验证，抽一名学生上黑板解答。

计算法：（a＋b）(a－b)= a2-ab+ab-b2 =a2－b2

（意图：通过这一过程，既验证了公式，又让学生感知了从一般到特殊。）

2 ．除了计算这种办法外，你能用手中的卡片来验证（a＋b）(a－b)=a2－b2吗？可让学生思考片刻，对学生而言这一问题有难度。这时，我适时提出：

我们先用1分钟的时间观察一幅图（教材P29图13.3.1）

3．学生两人一组，利用手中的卡片验证，老师进行个别指导。

阴影部分面积：（a＋b）（a－b）=a²－b²

4．在学生充分活动的基础上，抽一组学生上黑板展示，然后老师利用多媒体演示拼图验证过程。（意图：通过以上的活动，一验证了公式，二让同学们在活动中感知数形结合，同时培养了学生的动手能力及协作能力）

应用巩固

1. 我们已经验证了（a＋b）(a－b)=a2－b2的正确性，以后在计算此类的多项式相乘时，可以运用公式直接得到结果，下面我们就来看公式在具体问题中的应用。

2. 例1 ①（2a＋3b）(2a－3b) ②（1-2c）(1+2c)（教材P29例1里的②③两题）并提问：在上面的三个问题中，哪一部分相当于公式中的“a”，哪一部分相当于公式中的“b”？

（设计意图：要给学生充足的时间去观察，思考，讨论，然后再讲解。通过此例突出重点，让学生理解公式的特征。讲解时要向学生强调注意（2a）2中括号的添加。）

3．学生练习：

（1）填一填：

①（2+ x）（2- x）=（ ）2-( )2=_____-______

②(3x+6y)(3x-6y)=( )2-( )2=______-______

③( m3+5)(m3-5)=( )2-( )2=_______-____

（2）辨一辨:

①(2x+3)(2x-3)=2x2-9

②(x+y2)(x-y2)=x2-y2

③(a+b)(a-2b)=a2-b2

（3）做一做：教材P30的练习第1题的①②③

（设计意图：通过自己动手，强化对公式的理解，避免常见“系数不平方、指数不平方及乱用公式”等错误。）

4. 结论总结

课堂小结中我将请同学们思考下面三个问题：

1．这节课我们学到的知识是？

2．接触到研究数学问题的方法有？

3．我想进一步研究的问题是？

（设计意图：回顾知识，强化重点，培养能力，升华情感。）

5. 课堂练习

1．前面我们感受了（a＋b）(a－b)=a2－b2公式在整式乘法中的应用，它还能简化某些数与数的相乘，下面我们来看这一问题：

2．1998×2002

现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗？

6. 作业布置

1．巩固型作业（必做题）：教材P33的第一题（巩固所学知识）

2．拓展型作业（选做题）：你还能用与前面不同的拼图方法来 验证（a＋b）(a－b)=a²－b²吗？

b

（设计意图：培养一部分同学创造性解决问题的能力，拓展思维，开阔眼界）

7. 板书设计

两数和乘以这两数的差 例题及相关练习题

1．公式：两数和乘以这两数的差 等于它们的平方差

（a＋b）(a－b)=a2－b2

2．公式的验证