(陕西省西安市雁塔区曲江第一中学 ,陕西 西安 710062 )
反比例函数是学生认识的第一个图像为曲线,且自变量有范围限制的函数,因此,比起所学的一次函数,反比例函数有一定的难度,同时它又是为二次函数的学习提供了一定的认知基础,所有反比例函数有很重要的意义.
一 、反比例函数中比例系数k与图形面积的关系
( 点 为y轴上任意一点) (点 为x轴上任意一点) (点 为y轴上任意一点)
(AB//x轴,点 为x轴上任意一点) (AB//x轴,点 为x轴上任意一点) (P、P’关于原点对称)
二、模型应用
例1 如图,平行四边形OABC的对角线交于点D双曲线y= (x>0)经过C、D两点,双曲线y= (x>0)经过点B,则平行四边形OABC面积为 .
解 :方法一 数形结合 几何意义法
分别过点D,B作x轴的垂线DE、BF.延长BC交y轴于点G, 过点C作x轴的垂线CH.∵在双曲线y= 上∴ ,
∵四边形OABC是平行四边形,∴OD= ∵ ,易证:
∴ ,∴ k>0∴k=2∵四边形OABC是平行四边形,∴
方法二 代数运算 坐标法
∵平行四边形OABC的对角线交于点D,∴OD=BD,
设B ,∴D ,C的纵坐标是 ∴ =2,∴ ,
∵ BC=OA,∴平行四边形OABC的面积=BC×点C的纵坐标=
例2 如图菱形ABCD的顶点B、D在y= (k>0)的图象上,对角线AC与BD相交于坐标原点O,若点A(﹣1,2),菱形的边长为5,则k的值是______
方法 数形结合 几何意义法
解 :分别过点A,D作x轴的垂线AE、DF.
∵四边形ABCD是菱形 ∴ . 易证: ,
∴ ∵A(﹣1,2), ∴
∵菱形的边长为5, ∴ ∴ ∴ .
∴ ∴k>0∴k=8.
例 3 如图,△OAB的顶点A在双曲线y= (x>0)上,顶点B在双曲线y= (x<0)上,AB中点P恰好落在y轴上,则△OAB的面积为_______
解 :过点A、B分别作AM⊥y轴,BN⊥y轴,垂足为M、N,
∵P是AB的中点,∴OM=ON,又∵∠AMP=∠BNP=90°,∠APM=∠BPN,
∴△APM≌△BPN,∵顶点A在双曲线y= 上,顶点B在双曲线y= 上
∴ ,∴
三、模型总结
解决反比例函数比例系数求解问题,可以使用代数运算的方法,但代数变形要求比较高,使用几何意义方法,数形结合,往往能出其不意,化繁为简.