二次函数性质的综合应用题的剖析与解读——总结学习二次函数难点 重点突击中考高频考点

张秀娟

摘要：根据初中数学新课程标准课程内容安排，“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。目的着重发展学生的数感，符号意识，空间观念，运算能力，模型思想。在此次的九年级初中毕业班质量检测23测试题中涵盖了整个初中基础且重难点知识，在平面直角坐标系中，充分利用到二次函数，圆，相似，全等等重要知识点，具有代表性，模型思想较强。

关键词：一线三垂直模型，相似，全等，垂径定理，一次函数。

正文：

二次函数在整个初中数学阶段占着非常重要的作用，起着承上启下的“桥梁”作用。它不但体现了“数形”结合的重要思想，同时为高中阶段学习“一元二次不等式”提更基础。

在中考内容中，目前二次函数知识出现的题型以选择题，填空题，解答题出现。考的知识点主要是二次函数的图象与性质，难度中等偏上。二次函数性质的综合应用，难度中等偏上。二次函数的实际应用，难度中等。总分数值30分，占满分150的20％，可见其重要性。而二次函数性质的综合应用，是所有二次函数知识点的糅合与体现。下面我们就以一道关于二次函数知识点的典型例题，从题型，考点，以及解题思路等方面入手，跟随大家一起学习、温故这个知识点。

题型：

已知，如图，在平面直角坐标系中xoy中，抛物线与x轴交于点C，且点A的坐标是（-1，0），顶点D的坐标是（1，4）.

1. 求B,C的坐标。

2. 若△BCD的外接圆与y轴的另一个交点为点E，判断△BDE的形状，并说明理由；

3. 在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P；过点P做PF⊥x轴于点F，使得△PBF∼△CBO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

该题选自某县2020年初中毕业班质量检测第23题，本题考查了二次函数、圆、相似等重要知识点，本题满分14分，难度中等题目，学生完成测验后，整体平均分6.04分。符合在疫情之后，既考虑到学生的基础知识，也贴近中考重要知识点与题型，是个非常不错的典例题型。

评析;第（1）题易出现的错误在于个别学生基础薄弱，只知利用待定系数法一般式 ax²+bx+c将二点A(-1，0),D（1,4）代入，得不到三个未知数的数值，出现错误。可以利用顶点式或交点式来解决，考查学生的基础知识的掌握。是历年安徽中考题中关于二次函数考点的必考一项。

第一题：

方法1：由顶点D（1,4）可得设顶点式y=a(x-1)²+4,将点A(-1，0)带入其中，解方程得到未知数a=-1，则解析式y=-(x-1)²+4。得到B点坐标（3,0），C点坐标（0,3）。

方法2：由顶点D（1,4）可知对称轴为直线x=1,由抛物线具有对称性，与x轴另一交点坐标B(3,0)。再由交点式设函数为y=a(x+1)(x-3)，将点D（1,4）代入其中，得a=-1，得y=-(x+1)(x-3），进而得到C(0，3).

总结：利用待定系数法求抛物线解析式，是常规题目，也一般是中考必考一题。是个基础知识题，几乎大部分学生可以完成此题。

评析：第（2）题是本大题错误率最高题，学生虽易知△BDE为等腰直角三角形，但很多学生审题不清，误认BD为直径，甚至个别学生构造辅助线在线段BD上作圆心O⊥CE.充分体现学生对于题目没有深究的探索，而是思维定式，蜻蜓点水，这也暴露出很多学生在做题过程中没有注重过程的探究，挖掘数学问题的本质。

方法1：由C(0，3),D(1，4),B(3，0),根据二点距离公式，可知DC= 利用勾股定理逆定理可得DC²+BC²=BD^2,△BCD为直角三角形。易得△BCD的外接圆直径为BD，根据直径所对的圆周角为90⁰，则∠DEB=90^0。在利用模型思想一线三垂直型，作DG⊥y轴，交y轴于点G，易得△BOE∼△EGD,根据对应边成比例，设OE=X,OB=3，EG=4-x,DG=1。

，解方程得x=1,x=3(舍去)。则 ,得DE=BE.易知△DEB为等腰直角三角形。

G

总结：这一方法考查学生对于勾股定理及逆定理，一线三垂直模型思想的应用。二点距离公式在初中课程标准中并未明确提出，但可用勾股定理推出。因此我在初中数学教学中也给学生传授了此知识点，它给解决题目大大提高了简便性。

方法2：作DG⊥y轴，由上图。因DG=CG=1，可得∠DCG=45⁰同理∠OCB=45^0。则∠DCB=90⁰，根据圆周角是90⁰所对的弦是直径，则∠DEB=90⁰。再由同弧所对的圆周角相等，∠OCB=∠EDB=45⁰,易知△DEB为等腰直角三角形。

总结：这一方法充分考查学生观察题目，发现题目具有的特殊特征，对于三角形角度之间的关系与圆的定理的有扎实的基础。

方法3：由方法1 的勾股定理的逆定理可知BD为直径，设△BCD的外接圆的圆心在直径BD的中点为M。由D（1,4），B(3,0).根据平面直角坐标系中二点坐标可得其中点M(2,2).作MQ⊥y轴，交y轴于点Q。则Q点坐标（0，2）.根据垂径定理QC=QE=1,则E（0，1）.在根据二点距离公式得之DE=BE，则 。

总结：这一方法充分考查学生对于在平面直角坐标系中利用二点距离公式以及已知点A（x,y），B(m,n)则中点P（ ）知识的掌握。虽此知识在大纲中中未作特殊要求说明，但在初中数学阶段函数知识用到它，提高简便性。

第（3）题：方法1，当P点第四象限时，因为△PBF∼△CBO,所以∠PBF=∠CBO=45⁰

所以P点在CB的延长线上，不合题意，舍去。

当P点在第三象限，因为∠CBO=∠PBF=45⁰,所以∠CBP=90⁰

易知线段BC的解析式为y=x+3,得线段BP的解析式为y=x+b,B（3,0）代入，得y=x-3,

与抛物线y=-x²+2x+3的交点联立方程，x-3=-x²+2x+3，x₁=3,x₂=-2.则P点（-2，-5）

总结：这一方法考查学生从数来代替形解决问题，初中数学大纲并未直接提到二个一次函数互相垂直，比例系数积为-1，但我们在教学中会提到，方便解决问题。

方法2：设P(x,-x²+2x+3),若△PBF∼△CBO,因OB=OC,则PB=PF.当x＞0（x＞3）时，x-3=-｛(-(x²+2x+3)｝，x₁=0,x₂=3(都舍去）

当x＜0（x＜-1）时，-x+3=-(-(x²+2x+3)，x₁=-2，,x₂=3（舍去）

所以P点（-2，-5）。

总结：这一方法考查学生分类讨论思想，由线段等量关系列方程解决问题，这种分类讨论思想在初中阶段应用广泛。

由二次函数，相似，全等的知识，而且二次函数是中学数学中的教学重难点，在中考中也占据着非常重要的地位。

几点思考：

数学教学要挖本质

苏不清先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思考。先知其然，然后知其所以然”。所谓“知其所以然”就是搞清楚问题的本质。有了不同解法之间的区别与联系，容易反映数学问题的本质。数学教学中多练习一题多解，这二个二次函数的知识更加体现了这一现象。有了不同解法之间的区别与联系，容易反映数学问题的本质。

数学教学要析方法

数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生数学思考。数学教学要注重分析每一道题所用的数学方法，不同方法之间的区别与联系。这样既培养了学生的思维，又为学生积累了一题多解的数学活动经验。