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教学与研究【2020年第34期】

  • ID:274583
  • 浏览:347
  • 学科:教育学
  • 更新时间:2021-04-08 10:00:09
  • 期刊: 教学与研究
内容简介
《教学与研究》创刊于1953年,旬刊,是由中华人民共和国教育部主管、中国人民大学主办的综合性学术理论期刊,是国家社科基金首批资助期刊。《教学与研究》(教研版)办刊宗旨是为马克思主义理论教学与研究服务,同时发表相关的教育教学研究成果。为推动马克思主义理论的教学与研究发挥了积极的促进作用,深受广大读者的喜爱和好评。《教学与研究》(学术版)为全国中文核心期刊及中国人文社会科学核心期刊。读者对象是高校、各级党校、各类成人院校的理论课教师,理论研究和理论宣传工作者,以及广大一线中小学、幼儿园各学科教师

二阶常系数非齐次线性微分方程的一种特解求法

2021-04-08 10:11:08 教育学 史菁
资料简介

摘要 本文采用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,该方法可以直接计算特解.

二阶常系数非齐次线性微分方程的一种特解求法

史菁

(中国民用航空飞行学院 计算机学院 四川 广汉 邮编 618300 )

摘要 本文采用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,该方法可以直接计算特解.

关键词 线性微分方程; 常数变易发; 特解

中图分类号 O151.2 文献标识码 A 文章编号1008-1399(2018)

A Particular Solution of Second-Order Linear Nonhomogeneous Differential Equation with Constant Coefficients

Shi Jing

(College of Computer Science, Civil Aviation Flight University of China, Guanghan, Sichuan 618300, China)

Abstract: In this paper, the variation of constant method is used to solve the particular solution of the second-order linear nonhomogeneous differential equation with constant coefficients. This method can directly calculate the particular solution of the equation.

Key words: ODE; the variation of constant method; particular solution

引言

二阶常系数线性(常)微分方程是高等数学学习中的一个重要内容.在高等数学[1]教材中,根据二阶常系数非齐次线性微分方程通解结构,其通解可以表示为其对应二阶齐次线性常系数微分方程的通解加上该方程的特解,这是常用的通解求解方式. 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式记为

606e6633297b3_html_16ad3fde163f1471.gif 1\* MERGEFORMAT ()

其中606e6633297b3_html_f778ae5dc99c02e1.gif 是已知常数, 606e6633297b3_html_9b8a55c86da99a50.gif 表示已知函数, 对应的齐次线性微分方程为

606e6633297b3_html_69225fa89479002f.gif 2\* MERGEFORMAT ()

对应的特征方程为

606e6633297b3_html_330d2a6ebd074910.gif 3\* MERGEFORMAT ()

关于方程(1)的特解常用求法是根据非齐次项606e6633297b3_html_d4b80a935baf3dd6.gif 和特征方程(3)的根的情形设出相应函数, 并用待定系数法求解.教材中主要讲解了606e6633297b3_html_c6fcd158be843d2d.gif606e6633297b3_html_58369180c62a0ad.gif 这两类. 这样的求解方法, 一是需要记住不同类型的函数设法, 二是对于待定系数法求解时计算量较大, 计算繁琐. 孙涛等[2]引入待定函数法, 给出二阶常系数非齐次特解的求解方法; 汪雄良等[3]利用变量代换将二阶常系数微分方程转化为两个一阶微分方程, 从而给出通解公式; 拉格朗日在一阶线性微分方程的求解中, 提出了常数变易法, 线性微分方程很多性质结构上具有一致性, 因此, 本文使用常数变易法给出一种求解方程(1)通解的方法, 该方法可以给出了特解的计算公式.

主要结论

二阶常系数线性微分方程特解计算

当特征方程(3)的特征根606e6633297b3_html_fd74c5777811b791.gif 时,则方程(2)的通解为606e6633297b3_html_238a31abfd1dbfb.gif ,

606e6633297b3_html_a0c5cab3f2d2c974.gif , 可得606e6633297b3_html_b0511bee58bfeea6.gif

606e6633297b3_html_de0e570d22214fc1.gif 4\* MERGEFORMAT ()

606e6633297b3_html_6369729c7c111a55.gif

606e6633297b3_html_9917b8937cd7b299.gif 代入方程(1)得

606e6633297b3_html_a0eb1ce879a26859.gif 5\* MERGEFORMAT ()

联立方程(4)和(5), 可解的606e6633297b3_html_6bcddfadaf4ea498.gif 则方程(1)的特解为

606e6633297b3_html_d2f3fc9483a4d77a.gif 6\* MERGEFORMAT ()

方程(1)的通解为

606e6633297b3_html_c8474bb40b201982.gif 7\* MERGEFORMAT ()

当特征方程(3)的特征根606e6633297b3_html_df986a75a21ed65e.gif 时,则方程(2)的通解为606e6633297b3_html_a68f423ec5a6c3b2.gif , 设606e6633297b3_html_d5454960826cf1a6.gif , 可得606e6633297b3_html_5958becbbdf21904.gif

606e6633297b3_html_9a64e2e8c76ab3f.gif 8\* MERGEFORMAT ()

606e6633297b3_html_ad28c2ed1a68a87f.gif606e6633297b3_html_9917b8937cd7b299.gif 代入方程(1)得606e6633297b3_html_5a3a0ac6d630220f.gif 将其代入式(8)得606e6633297b3_html_98ff41abb1a52d44.gif 则方程(1)的特解为606e6633297b3_html_b964cc3d89bb78a6.gif 方程(1)的通解为

606e6633297b3_html_fbe592e4790cda5d.gif 9\* MERGEFORMAT ()

例1 求微分方程606e6633297b3_html_6a5cd947c4d6bf78.gif 的通解.

解 特征方程606e6633297b3_html_772d461fe3cbd152.gif606e6633297b3_html_872c272ca7973563.gif 606e6633297b3_html_8bda965103b37f5d.gif 得对应齐次线性微分方程的通解为606e6633297b3_html_b5a074b20cbd4f0.gif

代入式(6)方程的特解606e6633297b3_html_813fc0617ae086e2.gif

所求通解为606e6633297b3_html_70801cdc63577135.gif

例2 求微分方程606e6633297b3_html_a5b2746524f71e05.gif 的通解.

解 特征方程606e6633297b3_html_680d73026e4e3238.gif 606e6633297b3_html_a0ae9f1811dc2e39.gif 对应齐次线性微分方程的通解为606e6633297b3_html_860f4c6bfe89253d.gif 代入式(9),得方程的特解606e6633297b3_html_a498be1ce0426e08.gif 所求通解为606e6633297b3_html_eb31a4cb274255b5.gif

例3 求微分方程606e6633297b3_html_cc7bcf3e34b90fca.gif 的通解.

解 特征方程606e6633297b3_html_6351eabd2e50c4d.gif 606e6633297b3_html_4e8d70786480eecb.gif 对应齐次线性微分方程的通解为606e6633297b3_html_4c7414a0bca1d17b.gif 代入式(6)得方程的特解606e6633297b3_html_876c37aebb987055.gif 606e6633297b3_html_a4a8dccbae4c98.gif

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学:上册[M].第七版 北京: 高等教育出版社, 2014:338351.

[2] 孙涛,钱金花.待定函数法求解二阶常系数线性非齐次方程[J].辽宁科技大学学报,2015,38(06):478-480.

[3] 汪雄良,聂芬.基于降阶的变量替换法在二阶微分方程求解中的应用[J].教育教学论坛,2020(15):277-27
作者简介:史菁1993-女,四川成都,硕士研究生,助教,研究方向金融数学