浅谈“旋转变换”法在解题中的应用

翟志强

惠阳区第一中学

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-0992（2011）05-0000-01

“旋转变换”在平面几何解题中有着重要的应用，特别是对有关三角形、四边形等一类问题的求解，这里谈的“旋转变换”指的就是平面图形绕定点的旋转，因此，在一般情况下，其图形的形状和大小均不改变。

一、以三角形为基础的图形的旋转变换

例1、已知两个全等的直角三角形纸片△ABC、△DEF如图（1）放置点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4。

（1）求证：△EGB是等腰三角形；

（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小____度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形，如图（2），求此梯形的高。

证明：（1）如图1，在Rt△DEF中，∵∠EFB=90°，∠E=30°，

∴∠EDF=60°，

又∵∠ABC=30°，

∴∠EBG=∠EBF－∠ABC=30°

∴EG=BG

∴△EGB是等腰三角形，

图1图2

解（2）30（度）。

（事实上，如图2，∵∠BFD=30°，∠EDF=60°，

∴∠DHC=90°=∠ACB。

∴AC∥DE.又∵AC≠DE，∴四边形ACDE是梯形。）

设BC与ED交于H，∵∠DFB为30°旋转角，

又∵∠EDF=60°，∴∠DHF=90°，∵DF=2，

∴FH=DFsin∠EDF=2sin60°=

在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，

∴BC===2

又∵BF=DF=2，∴CF=2-2

∴梯形的高=2-2+=3-2

例2，图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点恰好在30°的三角板，Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M。

（1）如图③当DF经过点C时，作CN⊥于N，求证：AM=DN。

（2）如图④，当△EDF经D点旋转，DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由。

证明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点

∴BC=BD，∠B=60°

∴△BCD是等边三角形。

又∵CN⊥DB，

∴DN=DB

∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形

∴∠ADG=30°，而∠A=30°

∴GA=GD

∵GM⊥AB

∴AM=AD图3

又∵AD=DB∴AM=DN

（2）解：∵DF∥AC

∴∠HDB=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，

∴∠ADG=60°∵∠B=60°，AD=DB，

∴△ADG≌△DBH

∴AG=DH，

又∵∠HDN=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，

∴△AMG≌△DNH图4

∴AM=DN。

二、以四边形为基础的图形的旋转变换。

例3、已知顺正方形ABCD内有△AEF，∠AEF=45°，E、F分别在BC，CD上任意滑动，如图5，求证：

（1）△AEF的高AH为定值，D和B点重合时，因为∠EAF=45°，F和C重合；E和C重合时，F和D重合，因此，可以猜想△AEF的高AH是正方形的边长。

证明：把△ABE绕A点按逆时针方向旋转90°，在正方形外的△ADG、则AE=AG，

∠FAE=∠EAF=45°，所以△AEF≌△AGF，故AH=AD（，且EF=FG=BE+FD。图5

例4、四边形ABCD为任意四边形，以其边四各向四边到外侧作正方形，如图6，设P、Q、R、S为四个正方形的中心，求证：①PR⊥QS，②PR=QS

证明：以D为旋转中心，把ADF按顺时方向旋转90得△EDC，则AF=EC，AFEC，连接AC，取AC中点M，连接MA、MQ、MR、MP，因为MS∥EC，MR∥AF，所以MS=MR，MS⊥MR，同理MP=MQ，MP⊥MQ。以M为中心，把MPR按逆时针方向旋转90°得△MSQ，则有PR⊥QS，PR=QS。

本题稍为复杂一点，要通过两次旋转变换解得。图6

从以上数例可知，以三角形、四边形为基础的图形旋转变换，一般步骤是：（1）确定旋转中心，（2）确定旋转对象（即被变换的图形），（3）确定旋转的方向和角度（常用30°、60°、90°等特殊角）。

例5，在△ABC中，点D是AB边的中点，E，F分别是AC，BC上的点。

证明：△DEF的面积不超过△ADE和△BDF的面积之和（如图7）。

分析：考虑如何把△ADE和△BDF拼成一块图形，

然后和△DEF的面积比较。

证明：以D为对称中心，把△ADE旋转180变换

成△BDE1，则四边形BFDE1是凸四边形，

所以S△ADE+S△BDF=S△BDE+S△BDF=

S四边形BFDE≥S△DEF=S△DEF（当E和A重图7

合或F和B重合时，上式取等号）。

例6，已知M是Rt△ABC斜边BC的中点，P，Q分别在AB，AC上，且PMQM，求证：PQ2=PB2+QC2（如图8）。

分析：能否使PB，QC，PQ构成一个Rt△的三边是解题的关键，考虑到PM⊥QM，

MA=BC，故以M为中心，把△AMQ

旋转180得△A'MQ'.

证明：因为AA'=BC，且互相平分，所以A'Q∥AQ，

A'B⊥AB，且O'在A'B上，连接PQ'，

因为PM⊥QQ，MQ=MQ，所以PQ'=PQ，图8

以BQ=CQ，故在RtPBQ中有：PQ2=PB2+OB2，即PQ2+PB2+QC2。

通过以上例题分析，可知旋转变换在平几解题中如能恰当而灵活地应用，会使部分难题化难为易，迎刃而解，虽然它在解析几何、复数领域内有着更广泛的应用，但在平面几何中较早地应用这种方法解题，将会有助于学生开拓思路，提高兴趣，增强能力，为今后的学习打下良好的基础。