略论轴对称函数

敖鹏举

敖鹏举

摘要：函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

本文总结了解关于轴对称函数问题的基本方法和技巧，就教学中的一些心得体会谈几点浅显的看法和大家共同探讨。

关键词：函数；对称性；对称轴；性质

作者简介：敖鹏举，任教于江西省新余市渝水一中。

函数的对称性是函数的主要性质之一，和函数的其他性质有紧密的联系，而求函数

的对称轴的问题是函数部分常见的一类问题，在各种复习资料，各种试题，以及高考和竞赛试题中经常以客观题形式出现。下面我就拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质具体分析如下：

一、函数自身的对称性探究

1.问题的出现

问题一：对于函数y=f(x)，若满足f(x+1)=f(1-x),则函数y=f(x)的图像关于x=_________对称。

问题二:对于函数y=f(x)，在同一坐标下，函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于x=_________对称。

2.问题的解决

对于问题一，可有多种不同的解题思路：

方法一(图像法)：由函数图像的对称性，对于两个不同的变量x+1和1-x对应的函数值相等，则有y=f(x)对称轴为x==1

方法二(赋值法)：令x=1，则f(2)=f(0)，则y=f(x)的对称轴为x==1

方法三(特例法)：令f(x)=(x-1)2,则有f(x+1)=x2=f(1-x)，而f(x)=(x-1)2关于x=1对称。

对于问题二，则有下列思路：

方法一(特例法)：令f(x)=x，则y=f(x)=x-1，y=f(1-x)=1-x，从图像上可看出这两个函数关于x=1对称。

方法二(图像法)：因为f(-x)的图像和y=f(x)的图像关于y轴对称，而f(x-1)和f(1-x)的图像均是f(-x)和y=f(x)的图像向右平移了1个单位，所以这两个函数关于x=1对称。

3.问题的普遍性

上面的问题是两种求函数对称轴的典型例子：

①已知一个等式，求一个函数的对称轴方程。

结论1：已知f(x+a)=f(a-x)，则x=a是y=f(x)的对称轴。

结论2：已知f(x)=f(2a-x),则y=f(x)关于x=a对称。

②已知一个函数，求另两个函数的对称轴问题。

结论3：函数y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。

结论4：函数y=f(x-a)与y=f(a-x)关于x=a对称。

4.问题的推广

问题三：已知f(x-1)=f(2-x)，则y=f(x)关于x=_______对称,用上面的解法可直接推出y=f(x)的对称轴x==

问题四：对于任一函数y=f(x)，函数y=f(x-1)与y=f(2-x)关于x=______对称。

要求两个函数对称，只要令x-1=2-x，解得x=，这就是对称轴。

问题三的证明如下：设P(x0，y0)是y=f(x)的图像上任意一点，则它关于x=的对称点为P(1-x0,y0),而f(1-x0)=f[-1+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0这说明P(1-x0,y0)在函数y=f(x)的图像上，问题三得证。

问题四的证明如下：设P(x0,y0)是y=f(2-x)图像上的任意一点，则它关于x=的对称点为P(3-x0,y0)且y0=f(2-x0)而f(3-x0,y0)=f[2-(x0-1)]=f(x0-1)即点P(3-x0,y0)在y=f(x-1)的图像上，问题四得证。

结论5：函数y=f(a-x)的图像与函数y=(b+x)的图像关于直线x=对称。

结论6：已知y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线x=对称。

更一般性的推论：

结论7：函数y=f(a-tx)的图像与函数y=f(b+tx)的图像关于直线x=对称。

结论8：若f(a+tx)=f(b-tx)，则y=f(tx)的图像关于直线x=对称。

上面结论的证明类似于问题三，问题四的证明，从略。

综合以上结论知：①求一个函数的对称轴方程就是x等于函数自变量部分之和，除以x的系数的绝对值的2倍；②求两个函数的对称轴方程就是让函数的自变量相等解出x。

二、不同函数的对称问题

结论9：①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。（以上结论证明留给读者）

③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

现证结论11中的③：设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。

同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故结论9中的③成立。

推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。

三、函数对称性应用举例

1.对称轴在解题中的应用

例1：已知函数f(x)=lgX,在同一坐标中，

画出函数g(x)=lg(2-x)的图像

解析：把函数y=f(x)的图像沿直线x=1翻折，

翻折后形成的新图像就是函数g(x)=lg(2-x)的图像(如图)。

2.函数的对称性与奇偶性的综合应用

例2：设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=____________

解析：由f(x)是奇函数知f(0)=0，∴(0,0)关于x=的对称点为(1,0)，即f(1)=0又可得f(-1)=0，(-1,0)关于x=的对称点为(2，0)，即f(2)=0，同理可得f(3)=f(4)=f(5)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0。

3.函数的对称性与周期性的综合关系

结论10：①设函数y=f(x)(x∈R)的图像关于两条直线x=a和x=b(a≠b)对称，则y=f(x)是以2(a-b)为一个周期的周期函数

②设函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a及点(b,0)对称，则y=f(x)是以4(a-b)为一个周期的周期函数

证明①因为y=f(x)关于两条直线x=a，x=b(a≠b)对称，所以f(x)=f(2a-x)=f[2b-(2a-x)]=f[2(b-a)+x]，结论成立

②关于x=a对称得f(x)=f(2a-x)，关于(b,0)对称得f(x)=-f(2b-x)，那么f(x)=f(2a-x)=-f[2b-(2a-x)]=-f[(2b-2a)+x]

则f[4(a-b)+x]=-f[(2b-2a)+x]=-[-f(x)]=f(x)，结论成立。

例3：设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图像关于直线x=3对称，则下面正确的是（）

Af(1.5)＜f(3.5)＜f(6.5)Bf(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5)

Cf(6.5)＜f(3.5)＜f(1.5)Df(3.5)＜f(6.5)＜f(1.5)

解析：由f(x)以6为周期知f(6.5)=f(0.5),由f(x)关于x=3对称知f(3.5)=f(2.5)由f(x)在(0,3)内解知f(0.5)＞f(1.5)f＞(2.5)，所以选B

4.三角函数的对称轴问题

①因为sinx=sin(-x)=sin(2k+-x)

所以y=sinx的对称轴为x==k+

②因为cosx=cos(-x)=cos(2k-x)

所以y=cosx的对称轴为x==k

结论11:①y=sin(ωx+)的对称轴为x=；②y=cos(ωx+)的对称轴是x=；③三角函数图像的对称性列表如下：

函数

对称中心坐标

对称轴方程

y=sinx

(kπ,0)

x=kπ+π/2

y=cosx

(kπ+π/2,0)

x=kπ

y=tanx

(kπ/2,0)

无

注：上表中k∈Z

例4：若f(x)=3sin(+)有一条对称轴为x=，求k

解析：由题设可得+=n+(n∈z)将x=代入得k=18n+3(n∈z)

5.不同函数的对称问题

例5：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。

（A）1999（B）2000（C）2001（D）2002

解析：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4)=2001,应选（C）

四、结束语

以上从函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面论述了函数的对称性，总结了解关于轴对称函数问题的基本方法和基本技巧，而函数的对称性内容非常广泛，还需要我们不断总结和归纳，使之有利于我们学习成绩的提高。

参考文献：

[1]人民教育中学数学室.全日制普通高级中学教科书[S].北京：人民教育出版社，2004.

[2]赵振威，章士藻.中学数学教材教法[M].上海：华东师范大学出版社，1994.

[3]葛军.新编高中数学竞赛教程[S].南京：河海大学出版社，2001.

作者单位：江西省新余市渝水一中

邮政编码：338000

OnAxialSymmetryFunction

AoPengju

Abstract:Functionisthemainlineofmiddleschoolmathematicsteaching,thecoreelementofmiddleschoolmathematicsandthebasisofseniorhighschoolmathematics.Thispapersummarizesthebasicskillsandwaystosolveaxialsymmetryfunctionanddiscussestheauthor’reflectioninteaching.

Keywords:function;symmetry;symmetryaxis;nature