新高考下的线性规划问题

仇小青

线性规划在近几年高考中的题型有一定的变化，考查的知识已不再局限于线形规划本身，还会涉及其他各个部分的内容，考查的思想、方法也无所不包，以它为知识主干的一些原创题已构成一份试卷中新的亮点和综合考查点。纵观全国各试卷，集中呈现了以下几方面的走向：

一、仅涉及区域问题

由于线性约束条件确定区域是解决线性规划问题的基础，因此，确定区域成为高考的热点。

二、求线性目标函数的最值问题

根据线性约束条件求线性目标函数的最值问题是标准的线性规划问题，在高考中是最常见的题型之一。

例3，如果实数满足条件、，则2x-y的最大值为______。

例4，某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共获得的最大利润为______。

评析：解决线性目标函数问题的要点是：（1）画出约束条件的区域。（2）将线性目标函数化为斜截式，找到z与纵截距的关系。当z的符号为正时,纵截距越大,z越大;当z的符号为负时,纵截距越小,z越大。(3)比较目标函数的斜率与约束条件中直线斜率的大小关系,以发现目标直线与约束条件中直线的相对位置关系,画出目标函数直线,再平移,找到最优解。

三、执果索因的逆向问题

逆向设问是近几年高考的热点题型,旨在考查学生的逆向思维能力。一般出现的题型是：已知线性目标函数的最优解,求目标函数中字母参数的取值。

例5，已知平面区域D由以A(1,1)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D上有无穷多个点(x,y)使目标函数z=x+my取得最小值,则m=______。

评析：解决执果索因问题的主要方法是:根据结果,去探索条件,必要时分类讨论、各个击破,找到结果所需的条件。

四、目标函数是非直线的问题

在高考中还经常出现非线性目标函数的最值问题,比如根据线性约束条件求斜率、距离、面积等问题。

例6，已知变量x、y满足约束条件，则的取值范围是______。

评析：解决非线性目标函数的最值问题时,可按以下方法探索:识别代数式的几何意义（距离、斜率、面积等）,然后利用图形求解。

五、以集合形式出现的规划问题

集合是数学的一种语言,也是数学的一把工具。因此,集合常出现在数学的各个部分中,在部分省市的高考题中,出现了集合与线性规划相融合的新题型。

例7，在平面直角坐标系xoy中,已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积为______。

例8，设m为实数，若{（x，y）|{（x,y）|x2+y2≤25}，则m的取值范围是______。

评析：以集合形式出现的线性规划问题有一定的新意，从知识考点来看，超越了线性规划本身的知识框架，而出现了线性规划与其他知识（比如圆）的交汇，体现了知识的综合性；从方法来看，超越了线形规划本身所用的数形结合方法的圈子，而出现了换元法与分类讨论思想的融合，对思维层次有较高的要求。

六、以导数背景出现的线性规划问题

在知识与方法的交汇处设计高考题是高考命题的热点。因此，在全国各套试卷中，都出现了知识点与方法点的大综合题，在新增内容处出现交叉是一道新的风景线。比如线性规划与导数、不等式的综合成为2007全国卷II文科的压轴题。

例9，（2007全国卷II）已知函数f（x）=ax3-bx2+（2-b）x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2。

证明：（1）a>0；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

评析：本题的新颖之处在于将导数、实根分布、不等式、线性规划等重要知识点融为一体，这是一道新的风景线，前几年高考没有出现过导数与线性规划的结合题。本题重点考查了数形结合、等价转化的数学思想方法。

总之，线性规划问题已成为全国各省市高考的热点，题型有一定的变化，由顺向的问题不断走向逆向问题，由单一的考点问题不断走向复合考点交叉问题，由单一的方法问题不断走向方法的融合问题，思维方式上呈现灵活的趋势。