再谈“牛吃草”——巧设未知数

何彦

【摘要】在多变量问题中，有些变量在问题中起主要作用，是解决问题的关键，而有些变量在问题中具有任意性，起辅助作用，抓住不变量，对其合理的分离，那问题就迎刃而解，这种思想对后续函数的学习有很大帮助。

【关键词】中学数学“牛吃草”变量增设未知数设而不求不变量

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2010）07－0126－01

一篇文质兼美的文章可以描画出美好的生活，你可知道数学语言——方程也是一种刻画现实世界的美妙模型。列方程和解方程是大家从小就开始训练的基本能力，而用方程的思想解决实际问题却成了不少学生心中的“痛”，就连走向社会的成年人对数学应用题的“恐怖”仍记忆犹新。其实，没那么恐怖的，很多题目会因方程的运用而变得简单。列方程解应用题的关键是设未知数，设未知数的方法很多，有时可直接设所求量为未知数，有时应间接地设未知数，还有的时候需要增设辅助未知数。那么，如何巧设未知数，以达到迅速解题的目的呢？前两个方法是比较鲜明地找到模型建立关系式，今天主要是对后一种增设未知数的题目进行探讨。如鼎鼎大名的“牛吃草问题”，在方程组的帮助下就变得异常普通。题目：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？

〖方程法一〗

上述问题涉及三种未知数量：草场原有草量（工作总量）、每天新增草量（增加工作量）、每头牛每天吃掉的草量（每天或每小时某种工具工作的能力）。而这些未知量都是一定的，不妨考虑把这些未知的固定的量设成一些未知元m，n，a，把要求的天数设为x天，可列方程为：

。

（1）、（2）联立运用解字母方程的方法，将m和n用a表示出来，带入（3）中消掉a，解出x。牛吃草问题为建立多元模型和初中字母方程组提供了很好的素材。若把问题设置成“25头牛至多吃多少天？”就演变成方程与不等式的综合问题了，恰到好处的衔接了第九章《不等式和不等式组》。

〖方程法二〗

分析：将它想象成一个非常理想化的数学模型：把牛分为两部分，假设25头牛中有a头是“剪草工”，a头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的（25－a）头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。

解：设每天新增加草量恰可供a头牛吃一天，25头牛可吃x天，因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，

。

当应用题中涉及的量较多，各个量之间的关系又不明显时，可适当地增设辅助未知数，目的不是要具体地求出它们的值，而是以此作桥梁，沟通各个数量之间的关系，为列方程（组）创造条件。在解题过程中需将辅助未知数消去，以便求出所需未知数的值。

在原问题中至少有一个量是随着时间变动的量，当然这种变化是匀速的，这类工作总量不固定但均匀变化的问题统称为“牛吃草问题”，也可称之为“消长问题”。

从上述两种方程的方法我们可以总结出这类问题根本思想：多个变量，固定一些量，抓住不变量，巧妙地增设未知数，设而不求达到解决问题目的。这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的，还有牛吃草的速度也是不变的。当然，上面方程的两个方法共同特点都是抓住原草量不变来解决问题。我们可以继续通过一些“消长问题”来体会这一思想。

练习：某水库建有10个泄洪闸，水库现有水位已经超过水位线，不泄洪的情况下水位还在按不变的速度上涨，为了防洪需要，打开泄洪闸调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪的速度相同。经计算，打开一个闸门，30小时水位降至安全线；打开2个闸门，10小时水位降至安全线。现抗洪指挥要求保证开闸泄洪2小时不超过安全线，请你设计两种开闸泄洪的方案，并说明理由。（要求有一种开闸数是最少的）

解析：超过水位线的部分为原有草量，上涨速度跟牧场的草一样均匀地生长，泄洪速度相当于牛每天吃的草，因此，把它当作牛吃草问题同解。另外，这也是一道方程与不等式的综合题目，在7年级下册第九章《不等式与不等式组》，我就沿用了此题，收到很好的教学效果。

牛吃草的问题可以继续变式为：

1．有三块草地，面积分别为5、6、8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

解析：现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来。求5、6、8的最小公倍数为120。

2．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

解析：本题的不同点在草匀速减少，和前边设一样来理想化，不过解出的a为负数。

总之，“以不变应万变。”山重水复疑无路，无中生有——引进辅助未知数，柳暗花明又一村！在多变量问题中，有些变量在问题中起主要作用，是解决问题的关键，而有些变量在问题中具有任意性，起辅助作用，抓住不变量，对其合理分离，那问题就迎刃而解，这种思想对后续函数的学习有很大帮助。