对运筹学在城市垃圾处理中的应用研究-基于线性规划及动态规划方法

张庆涛 张庆龙

摘要：随着经济发展，城市化进程的加快，我国城市垃圾如何处理已成一大问题。本文通过应用线性规划的知识，建立垃圾处理费用的线性规划的数学模型，并应用Lingo软件平台对其模型求解，表明该模型可以有效地减少垃圾处理费用。之后考虑实际情况，通过对动态规划的应用，来解决垃圾场扩建问题。

关键词：城市垃圾；线性规划；Lingo软件；动态规划

一、前言

自改革开放以来，我国经济飞速发展，城市化进程不断加快。随着城市的兴起，人民生活水平的提高，人民日常生活及生产消耗不断增加，城市垃圾也越来越多。根据统计显示，我国每年有1.6亿吨垃圾在城市中产生，庞大的垃圾数量带来的是巨额的垃圾处理费用^[1]。巨额的垃圾处理费用给我国财政带来了巨大的压力，也成为了我国经济发展的一大阻碍。由于垃圾数量的庞大，每优化一个垃圾处理环节，都可能节省一大笔费用，每节省一笔费用都可以用来城市发展，提升国力。本文就对两个垃圾处理的重要环节（1.垃圾运输及处理费用。2.垃圾场的扩建带来的收益。）进行研究，运用线性规划知识及动态规划知识分别优化两个环节。其中还应用了Lingo软件加以验证。其实这两类问题所建立模型均属于目标规划模型。本文采用简单但大众化的案例进行研究，旨在起到启发式作用。

1.目标规划模型

目标规划模型是运筹学中常见的一类数学规划模型，由Charness和Cooper在1961年首次提出^[2]。

2.Lingo软件介绍

Lingo软件是由美国Lindo系统公司研制的，其是运筹学中常用的软件。该软件可以解决运筹学中大部分问题，诸如线性规划、运输问题、非线性规划问题、灵敏度分析等问题，运用Lingo软件可以提高运算效率^[3]。

2.线性规划

线性规划的概念源于1947年军事行动计划中，主要用于求最优化问题中。是运筹学中的一个有力的研究工具^[4]。线性规划研究的问题有两类：一类是如何使用有限的资源达到最大化收益；另一类是为了达到目标，如何安排为达到目标所经历的过程，以使消耗资源最少^[5]。

二、正文

我国城市众多，在高速发展的城市中，每天产生的垃圾也是很多的。而处理这些垃圾的费用更是一笔天文数字。为减少我国财政压力，我们运用运筹学的知识针对城市垃圾的处理环节，来进行优化设计。每一个环节的一点点优化，带来的可能就是巨大的收益。考虑到我国各地城市情况的复杂及现实与理想的差异性，我们选取较为简单但大众化的案例进行研究。一方面主要研究如何运用运筹学知识来优化垃圾运输处理费用。另一方面，考虑到随着城市的发展，人口的增多，垃圾处理厂必然会不断扩建。当面临如何用已有资金，对垃圾处理厂进行改造和扩建以获得最大收益的问题时，运用动态规划的方法，来解决问题。

1.对垃圾处理费用的优化研究

1.1问题描述

某沿海地区有甲、乙两个城市，甲城市每周最多产生800t生活垃圾，乙城市每周最多产生1300t垃圾。现两个城市的相关部门经研究，决定两个城市共同建造垃圾处理厂来处理垃圾。根据国家相关规定，城市相关部门决定建立三个垃圾处理厂以处理城市垃圾。其中a厂处理方式为焚烧，b厂处理方式为填海，c厂处理方式为掩埋。城市垃圾处理费用包括运输费用、垃圾场的固定费用及垃圾场处理垃圾的可变费用三部分。a、b、c三厂的固定费用、可变费用及处理能力见表1，城市甲、乙分别到a、b、c三厂的运输费用见表2。试求在满足所有城镇垃圾都得到处理的情况下，如何使每周的费用最小。
表1

费用及能力 处理厂	固定费用（元/周）	可变费用（元/t）	处理能力（t/周）
a	3850	11	1000
b	1155	17	500
c	1900	6	1300

表2

处理厂 运费（元/t） 城市	a	b	c
甲	7.5	3	15
乙	5	7.5	12.5

1.2建立线性规划模型

根据问题描述，我们可以设x_i为甲城市每周运往处理厂i（i=1，2，3，表示a，b，c厂）的垃圾量；y_i为甲城市每周运往处理厂i（i=1，2，3，表示a，b，c厂）的垃圾量；由此，我们可以得知两个城市每周垃圾处理费用z的函数为：

z=x₁*7.5+x₂*3+x₃*15+y₁*5+y₂*7.5+y₃*12.5+(x₁+y₁)*11+(x₂+y₂)*17+(x₃+y₃)*6+3850+1155+1900

约束条件如下：

x₁+x₂+x₃=800;

y₁+y₂+y₃=1300;

x₁+y₁<=1000;

x₂+y₂<=500;

x₃+y₃<=1300;

1.3利用Lingo软件对模型求解

在Lingo软件中输入代码：

Min=7.5*x1+3*x2+15*x3+5*y1+7.5*y2+12.5*y3+(x1+y1)*11+(x2+y2)*17+(x3+y3)*6+3850+1155+1900;

x1+x2+x3=800;

y1+y2+y3=1300;

x1+y1<=1000;

x2+y2<=500;

x3+y3<=1300;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

@gin(y1);

@gin(y2);

@gin(y3);

点击运算，得到结果如下：

1.4总结

由上述数学模型的建立及Lingo软件的求解过程我们可以看出，线性规划知识及Lingo软件是可以应用到城市垃圾处理费用优化的实际问题中的。虽然，采用的案例较为简单，但即使对实际问题进行研究时，对各因素进行量化分析，依然可以应该线性规划的知识进行解决。

2.对垃圾场改造扩建问题的研究

2.1问题描述

利用决策技术分配垃圾场建造资金。

随着经济的发展，甲、乙两城市的城市垃圾也越来越多，原有的a、b、c三个垃圾处理厂已无法满足城市垃圾处理的需求。因此，两个城市相关部门决定调拨资金，对a、b、c三个垃圾处理厂进行改造扩建。经过测算分析，每个垃圾处理厂都有若干方案选择，每种方案的投资及所能带来的收益如表3。经过募捐及财政拨款，相关部门筹措资金5千万元，应该如何分配投资以使总收益最大？（i表示三个垃圾处理厂（i=1，2，3，分别表示a厂，b厂，c厂））

表3

Mij （方案）	i=1		I=2			I=3
	C（投资）	R（收益）		C（投资）	R（收益）		C（投资）	R（收益）
1	0	0		0	0		0	0
2	1	5		2	8		1	3
3	2	6		3	9		-	-
4	-	-		4	12		-	-

注：“-”表示无此方案

2.2利用动态规划知识求解过程

首先用S₁表示向垃圾处理厂a，b，c投资的总投资金，S₂表示向垃圾处理厂b，c的总投资金，S₃为向垃圾处理厂c的总投资金。

阶段k=1，2，3依次表示资金投向a，b，c厂的过程；

决策x_r表示第k阶段的投资数；

状态转移：S_k+1=S_k-x_k；

递推方程为：f_k（S_k）=max{R_k（x_k）+f_k+1（S_k+1）}，k=3，2，1

f₄（S₄）=0

（1）当k=3时

S3	X3	R3	S4	f4(S4)	R3(x3)+f4(S4)	f3(S3)	X3*
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	3	0	0	3	3	1

（2）当k=2时

S2	X2	R2	S3	f3(s3)	R2(x2)+f3(s3)	f2(s2)	X2*
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	3	3	3	0
2	2	8	0	0	0	8	2
3	2	8	1	3	8+3=11	11	2
	3	9	0	0	9
4	3	9	1	3	9+3=12	12	3
	4	12	0	0	12		4
5	4	12	1	3	15	15	4

（3）当k=3时

S1	X1	R1	S2	f2(S2)	R1(x1)+f2(S2)	f1(S1)	X1*
5	0	0	5	15	15	17
	1	5	4	12	17		1
	2	6	3	11	17		2

由此我们可以得出，最优方案应该是：S₁=5, x₁=1或2;S₂=3或4, x₃=3或4;S₃=1 ,x₃=1或0，最大总收益f（1）=f₁(2)=17，总方案集合为{m_1j,m_2j,m_3j}={2,4,1}或{2，3，2}或{3，2，2}。

2.3总结

由上述解决问题的过程可以看出，动态规划的应用对垃圾处理厂的改造及优化有巨大意义。可以在城市管理者在有限资金的情况下获得最大的收益。

三、结论与展望

本文通过应用运筹学中的线性规划及动态规划知识，并利用lingo软件，对城市垃圾处理方面问题进行了研究和分析。发现运筹学中的知识，可以很好的应用到城市垃圾处理费用优化及投资收益最大化的实际问题中。可以帮助处理城市发展中面对的垃圾处理这一难题。并且随着城市发展，垃圾处理厂会遇到改造和扩建的难题，而运筹学中动态规划方面的知识可以较好的这些难题。

由于作者自身知识有限，加之资源较少、时间较紧，以及在现实中城市垃圾处理问题必然会更复杂，本文研究仍具有很大的局限性。谨希望以此来抛砖引玉，使更多学者对城市垃圾处理问题进行研究，并能够把研究成果运用到现实问题中，使城市管理者可以更多的运用运筹学知识来解决现实的实际问题。

参考文献

[1]朱晓毅.中国城市垃圾分类回收及资源化管理的现状及对策研究[D].2013.

[2]熊文涛,肖应雄.LINGO软件在目标规划实验教学中的应用[J].新疆师范大学学报:自然科学版, 2019, 38(01):65-69.

[3]何明华.计算运筹学在经济管理领域改革的几点思考[J].广西教育学院学报,2010(106):108-110.

[4][1]高兰芳.基于线性规划的工程投资分配模型及优化[J].四川轻化工大学学报(自然科学版),2020,33(01):74-81.

[5]王颖祺.线性规划为制造加工企业制定科学生产决策研究[J]. 黑龙江工业学院学报(综合版), 2018, 18((07)):P.76-78.