旋转矢量法在简谐振动中的应用探讨

刘汕1,2，庞礼军1

摘 要：结合旋转矢量法的理论依据探究旋转矢量法在简谐振动中的应用，探究结果发现：旋转矢量法的理论依据是两个振幅相等，频率相同的简谐振动，相位差等于π/2，沿垂直方向的合成就是圆周运动；而旋转矢量法可计算简谐振动的矢端速度与加速度、相位与初相位、运动时间间隔及合振动。

关键词：旋转矢量法；简谐振动；应用

0.旋转矢量法

旋转矢量法[1]，也叫匀速圆周运动法，参考圆法，用其方法来解决简谐振动中的问题，相对来说比较简单。如图1，做一个圆周，以O为原点，向右为正方向建立坐标轴，根据题目条件确定半径位置，要观察的是半径的端点在x轴上的投影的位置，如果速度为正，半径端点一定处于x轴下方，反之在x轴上方，比如，t＝0时，质点正经过平衡位置向正方向运动，那么这个半径端点就是在原点正下方，即端点的投影刚好在原点[2]。而以O为原点的旋转向量A的端点与在x轴上的投影点的运动为简谐振动。

图1 旋转矢量                图2 相位差为π/2互相垂直简谐振动的合成

1.简谐振动矢量法的理论依据

互相垂直相同频率简谐振动的合成[3]，现将分振动的运动学方程表示为，，质点既沿Ox轴又沿Oy轴运动，实际上是在Oxy平面上运动。从上面方程消去t，得合振动的轨迹方程：

=。当相位差为时，，表明

合振动的轨迹为以x和y为轴的椭圆，如图2所示

这里又可分为两种情况，时，x方向的振动比y方向的振动超前，即，当某一

瞬时，则x=0，y=A2，即质点在图2(a)中的P点，经过很短时

间后略大于零，y将略小于A2，为正，而略大于，x将为

负，故质点运动到第二象限，即质点沿椭圆逆时针运动。反之，时，y方向的振动比x方向的振动超前，质点沿椭圆顺时针方向运动，如图2（b）。以上两分运动中，若=且相位差为，则其合运动轨迹方程褪化为圆。

两个振幅相等，频率相同的简谐振动，相位差等于沿互相垂直方向合成的为圆周运动；反推理可得，圆周运动亦能分解为两互相垂直的同振幅同频率的简谐振动。圆周运动同简谐振动的这种密切联系，正是简谐振动用矢量表示法的理论依据。

简谐振动问题中最常计算的就是求简谐振动的运动学方程式,以及简谐振动的角速度与加速度,初末相位之差，振动时间间隔和求合振动等，在解决这些问题时，旋转矢量法的优势得到了完美体现。

2．用旋转矢量法计算矢端速度与加速度

    如图3所示，矢端做圆周运动的速率大小为，速度方向与x轴的夹角等于，故速度投影为。矢端所作圆周运动产生的向心加速度大小，它与x轴的夹角为，故加速度投影为。据上述推导可得,简谐振动的位移方程为，微分可得vx==。由旋转矢量的速度和加速度的投影,和简谐振动的运动学微分方程相比得,旋转矢量的端点随圆周方向转动的速度和加速度,在平面坐标轴上的投影恰好相当于给定的简谐振动的位移，速度和加速度。

       

图3用旋转矢量法研究简谐振动图4 旋转矢量与运动图像的对应关系

用旋转矢量说明简谐振动时：旋转矢量的长度等于振幅，矢量A叫振幅矢量；简谐振动的圆频率等于矢量转动的角速度；简谐振动的相位等于旋转矢量与x轴的夹角。

3.旋转矢量法确定相位和初相位

旋转矢量法,是在处理简谐振动相关问题时比较直观的一个几何方式。首先，用旋转矢量法求初相位，要用到的公式是，由图4图像可知，t=0时位于最高点，在旋转矢量的图像上对应于圆形的最右边的那个点（与x轴的交点），我们就叫它起始点。在得知要求的质点的初始位置后，接着我们要找到它在旋转矢量的图像上所对应的点（看它的位置和方向），称此点为终点，然后，沿圆形从起始点指向终点，所经过的角度就是要求的初相位了。求在任一时刻的末相位时,先使A的周角速度为ω在平面上绕O点逆时针旋转,当此旋转矢量围绕坐标原点转动了一周及一个完整周期的运动。任一时间,旋转矢量和x轴线之间的角度都是该时刻的末相位。

4.用旋转矢量法求运动时间间隔∆t

利用旋转矢量可以求得运动时间间隔,要采用的公式仍然是,在通常情形下，求最大位移运动到平衡位置的时间,怎么来应用旋转矢量公式呢。如果知道简谐振动的位移方程为,我们就可以得到在最大位移时x=A,而此时的t=0,在运动到平衡位置后,x=0,所以始末二态的相位差∆φ=π/2,而由于A所进行的运动是匀速向圆周运动,所以，,这样这段位移的时间就能算出来。借助旋转矢量A的转动是匀速的[4]，通过相位差与角速度的关系计算所需时间，这种方法比三角函数法和曲线法求解简单的多，然而也可以简化质点在任意不同状态间所需要的的时间[5]。

5．旋转矢量法求合振动

如图5，O为坐标原点及振动的平衡位置，振动沿OX轴方向。从O点作两个长度分别为A1、A2的矢量、，他们在t=0时与x轴的夹角分别为、

。

为矢量、的合矢量，在X轴上的投影M的运动也是简谐振动。

图5简谐振动的合成

从图中三角形边角关系，很容易得到：

A=

讨论：

（1）当（k=0,...）时，

 

A=

=合振动振幅最大

若二分振动的相位相同，合振动加强，合振幅等于二分振动振幅之和。

（2）当，（k=0，±1，±2...）时，

A

=   合振动振幅最小。

若二分振动相位相反，合振动削弱，合振幅等于分振动振幅之差。

一般情况<A<，二分振动既不同相也不反相时，合振动振幅在两者之和和两者之差的绝对值之间。

综上所述：通过对上述的归类方法和旋转矢量法的综合运用,代替了中学简谐振动中常使用的是解析法，而对于三角函数不够扎实的学生，若简单引入旋转矢量法，借助旋转矢量与简谐振动相关量的一一对应便能更直观，更形象地描述简谐振动的变化规律，这也对知识的掌握起到促进作用。

参考文献

[1]漆安慎，杜婵英第三版，力学[M].高等教育出版社2012.12.

[2]陈兰莉，大学物理教程(上册)[M].机械工业出版社，2015.01.

[3]全桂英.Mathematica在简谐振动合成分析中的应用[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2007(04):80-83.

[4]陈新,王赵,唐敏.教学中旋转矢量法的应用——以简谐振动为例[J].海南广播电视大学学报,2016,17(01):116-120.

[5]朱青.旋转矢量法在“简谐振动”教学中的应用[J].2006.

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