关于分子碰撞与气体压强

【内容摘要】现行的普通物理教材在推导理想气体压强公式（1）时，

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（1）

一般都不考虑气体分子之间的相互碰撞，或只是定性地指出考虑分子之间的碰撞并不会影响讨论的结果。其实，在推导理想气体压强公式的过程中，利用泰特（Tait）平均自由程的概念，就可以在考虑气体分子之间相互碰撞的情况下，同样简明地导出气体压强公式（1）式。本文给出这一推导过程。

关键词：理想气体 分子碰撞 压强

研究一任意形状的容器，内盛服从麦克斯韦速度分布的理想气体，设气体的分子数密度为n。计算单位时间内在单位壁面上受到碰撞而反射的气体分子给予器壁的动量。

z

x

y

θ

ds

dτ

A

r

如图所示，考虑器壁上任一点A处一面积元ds以及A点附近一体积元dτ，设dA与z轴垂直，dτ与ds的距离为r，连接dτ与ds的连线和z轴（即ds的法线）成角θ（如图）。可见，从dτ出发而能穿过ds的分子，其速度方向必须位于立体角元

　　　　　 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（2）

内，故这些分子的速度是

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（3）

考虑到分子之间的相互碰撞，引入泰特平均自由程 及自由程分布定律：

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（4）

式中N表示在 个分子中自由程大于r的分子数。

这样，dτ中具有速率v的能达到ds的分子数应是：

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（5）

式中 即麦克斯韦速度分布函数，

考察dt时间内中dτ中的分子带给ds的动量。由于 分子在dt时间内带过来的动量发布正好是这些分子在前一次碰撞地点的平均动量，且对于每个分子来说，每秒内要经受

次碰撞，因此，为了只计算在dτ体积元处碰撞过的分子，必须给分子数 乘上因子 ，亦即，在dτ中对器壁面积元ds有贡献的分子数是

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（6）

在分子与器壁的碰撞（这种碰撞通常都被假定为完全弹性碰撞）中，分子的每一次碰撞给予器壁的动量为2mvcosθ，在dt时间内，dτ中的分子给予器壁面积元ds的动量是dN·2mvcosθ，由动量定理可知，dτ中的气体分子对器壁作用的压强 ‑‑‑（7）

积分，则有

‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（8）

这正是我们所熟悉的理想气体压强公式。

以上推导的结果从定量上证实了气体分子之间相互碰撞并不影响理想气体的压强值。

参考文献：　　

［1］陆果 基础物理学教程［M］ 高等教育出版社 2006年

［2］程守洙,江之永.普通物理学［M］，第五版.北京:高等教育出版社,1998.　　

［3］郑久仁.热学 热力学统计物理［M］，科学出版社,2005年9月