在数学训练中发展思维品质

胡卫波

基础教育面临一个重要的课题，如何从应试教育向素质教育转变，这是关系到培养世纪人才的一个重要问题．为了适应新世纪对学生素质要求的需要，实现新大纲提出的素质教育目标，我们必须认真钻研新大纲、新教材，按照大纲的要求确定我们课堂教学的方法．新课程标准中对教师提出了这样的要求：在教学活动中，教师应要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新实践，要创造性的使用教材；积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都能得到充分的发展．而变式教学求变求异的特点，决定了变式教学是培养学生创新能力的一种有效的教学方式．从数学学科教学来说，培养良好的思维品质，是实现从应试教育向素质教育转变的一个重要方面．运用变式教学是有效且容易实施的途径．

下面就变式教学问题，笔者谈谈对变式教学的一些理解及在教学中实施变式教学的几种做法和体会．

一、对变式教学的一些理解

1.对变式教学定义的理解．

变式教学就是更换概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论的形式或内容，而不改变问题的实质，从而使学生在以不同角度，不同方面思考问题的过程中获得对数学问题的深刻的理性认识，提高识别、应变、概括的能力．它是培养数学学习能力的有效教学方法．

变式教学在教学方式上一改过去“示范—模仿—练习”单一模式，变注入式为启发式，变传授知识为揭示获取知识的思维过程，使学生从思维定势中解脱出来，提高思维的灵活性、深刻性和创造性，发展思维能力．

2.在数学教学中实施变式教学的意义．

（1）变式教学，有利于数学概念的准确理解．

数学概念本身是一种高度浓缩了的知识，是对客观事物抽象的概括，为引入概念和加强概念的内涵和外延的理解，常常需要引进一些概念的“雏形”或数学现象．其实它们均在本质属性与相应的概念一致，而在形式上却不尽相同，既它们都是概念的变式，显然数学概念的浓缩性与其数学应用的广泛性的矛盾的解决，需要运用变式进行沟通．

（2）变式教学，有利于数学原理的灵活运用．

数学中的公式法则、定理、原理、定律等等无一不是现实世界空间形式和数量关系的反映，教材中的相应内容只不过是其中最重要、最具代表性的部分．要想通过教材这个媒介使学生掌握这些内容，必须经过一个较为繁杂的认识过程．在认识过程的每一阶段，每一环节上，又必须建立一些“桥梁”，帮助学生掌握由浅入深、由此及彼的认识规律，而这些桥梁便是公式法则、定律、定理等的变式及变式题，所以数学原理的抽象性与具体问题实在性矛盾的解决，需要用变式进行衔接．

（3）变式教学，有利于数学方法的熟练掌握．

具备一定的解题方法是解决数学问题之必需．基本的或重要的方法掌握，要通过足够的练习．华罗庚说过：“如果不做书中所附习题，那就好比入宝山而空返”．而诸多与课本类似的变式题的运用是熟练掌握这些数学方法的有效途径．

借助习题变式，展示解题中遇到的各种问题，从中总结出实质性的解法，以不变应万变．这种由生搬模仿的一招一式向熟练灵活的运用自如的转变，需要运用变式进行过渡．

（4）变式教学，有利于各分支知识的融会贯通．

数学知识有很多分支，但是各分支之间是有联系的．利用习题变式，揭示数学各部分内容之间的内在联系，加强知识间及方法上的融会贯通，这种解决问题方法的单一性向多样性的转变需要运用变式进行渗透．

（5）变式教学，有利于提高学生对知识的迁移能力．

课本中每一道例题都是为实现教学大纲而精心设计的，变更题目条件或结论，便得到条件变题或结论变题，这些题目都是围绕着一个共同中心的题目系列．课本中的例习题有着丰富的内涵，在教学中重视课本典型题的演变、引申、延拓是克服题海战术的一种有效途径，也是培养学生对知识迁移能力的重要手段．

在教学中实施变式教学，对提高学生理解、掌握、运用知识能力及培养学生良好的思维品质，无疑是必需的．

二、在数学教学中实施变式教学的几点做法和体会

1.引申变换，培养学生创新思维能力．

课本是形成数学思想数学方法数学技能的主要工具．在教学过程中，不失时机地将课本例习题进行引申，深入的挖掘，对条件，结论不断地变通，揭示知识的本质，可以激发学生的求知欲，培养学生钻研课本，提出新问题的良好习惯，进而达到举一反三，触类旁通的效果．

（1）对题目条件进行引申变换．

例1已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE=CF

求证：四边形BFDE是平行四边形．

证明后，教师问学生若把题设中的AE=CF改为BE∥DF能保证结论成立吗？以此为类，教师再提出，对条件还可以怎样变动，仍能保证结论成立？

教师推波助澜，使学生的探索进入多层次，发现新问题，解决新问题，使例题的作用得到淋漓尽致的发挥．归纳起来，学生对条件作了以下变通：

1）E、F分别为AO、CO的中点；

2）BE、DF分别是∠ABO、∠CDO的角平分线；

3）BE⊥AC、DF⊥AC；

4）BE∥DF；

5）E、F分别在OA、OC的延长线上，且AE=CF或E、F分别在AO、CO延长线上，且AE=CF；

6）把平行四边形ABCD改为矩形、菱形、正方形．

由上题可以看出，问题条件的变化，会促使学生对问题进行比较分析，从中找出最本质的成分，并对他们进行概括．变换问题的条件，给学生思维活动创造了有利前提．

（2）对题目结论进行引申变换

例2已知AD是ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求证：AF=FC．

在讲评时，在不改变题设的情况下，教师可引导学生练习下列变题：

变式1求证：CF=AC

变式2求证：E是BF的四分之一点

变式3求证：AF∶BC=EF∶BE

从证明原题的基础上，加之教师引导，问题能顺利解决．变题难度由浅及深，而在证明全过程中，并没遇到较大的困难，这完全是原证明题产生的效果．这样安排，无疑是培养了学生思维的层次性，潜移默化的训练了学生解综合题的能力．这比专门讲解难题效果要好，时常这样做，有利于激起学生深层次的思考，使数学能力得到发展．

对课本例习题进行引申变通，充分发挥了它们的潜在功能，涉及的知识内容，技能容量大，深入地沟通了知识，技能方法的内在联系．不同层次的学生都得到了训练，使学生从多方位，多层次上深化了对基础知识的理解．

2.逆向变换，开拓解题思路．

例3如图（3），已知在△ABC中，已知∠ADE=∠C，求证：AD∶AE=AC∶AB

可作如下变换，得变题：如图（3），已知在△ABC中，

已知AD∶AE=AC∶AB，求证：∠ADE=∠C．

通过以上问题中条件与结论的互换，有利于训练学生的思维，开拓学生的解题思路．

3.题型变换，扩大学生的视野．

例4设x为整数，求证：x（x+1）（x+2）（x+3）+1是完全平方数

讲完该题后，可以将题型做适当变换，如：

变式1分解因式x（x+1）（x+2）（x+3）+1

变式2解方程x（x+1）（x+2）（x+3）+1=24

以上题型虽然作了变化，但是解题思路大致相同．这样做，有利于扩大学生的视野，发展学生思维的广阔性和深刻性．

4.图形变换，培养探索能力．

运用变式图形，深化概念教学

由于几何图形的感知与理解是形成正确的几何概念的关键之一，因此在几何教学中，普遍运用图形变式，以加强对图形本质的理解．

例如在立体几何中，讲到棱柱时，就可以把棱柱竖着放，水平放，斜着放等各种位置变式，让学生以不同的角度进行观察，并指出虽然图形位置变了，但是棱柱中的线与线，面与面之间的关系保持不变．这样百年加深了学生对柱体本质的认识．

图形的变式也表现在有一种图形变到另一种图形上．例两条直线x+y+4=0和x-y=0各与圆x+y-2x+4y-4=0相交，求证：所成的两个弓形（小于半圆）的面积相等．

分析：如果计算弓形的面积，则运算量很大．只要改证圆心到两直线的距离相等即可．这里由计算弓形面积到计算点到直线的距离也是一种图形的变式．

5.多方位演变，培养学生综合能力．

例5求曲线y=-4-2x与原点距离最近的点p的坐标．

变式1（改变条件，挖掘内在联系）求曲线y=4-2x与原点距离最近的点p的坐标

此题的设计目的是为了通过辨析，揭示问题的实质，培养思维的准确性．

变式2（条件一般化，提高综合能力）在曲线y=-4-2x求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短，并求最短距离．

此题实际上是对前两题的归纳总结．

变式3（添加背景材料，提高应变能力）抛物线C1：y=-4-2x与动圆：C2（x-a）+y=1，

没有公共点，求a的取值范围．

圆C2与抛物线C1的位置关系有两种，一种是圆C2在抛物线C1的内部，另一种是在抛物线C1的外部，如果变为只有一个公共点呢？则引出了变式4．

变式4（联系实际，增强应用意识）一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y=（0≤y≤15），在杯内一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，求玻璃球的半径r的取值范围．

通过这样演变，可以培养学生应用数学的意识和综合运用所学知识解决问题的能力．

将常规题改为探索题是设计变式题的又一途径．把题目的条件和结论适当改变得到新题目．

变式5（变换条件结论，提高探索能力）直线L的方程为x=——，其中P＞0．椭圆的中心为O（，0），焦点在x轴上，长半轴的长为2，短半轴的长为1，它的一个顶点为A（，0），在椭圆上是否存在点，使它到点A的距离等于该点到直线L的距离．

通过演变，可以使学生时时处在一种愉快的探索知识的状态中，从而充分调动学生积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力．上述演变，不但可以使学生形成完整的知识结构，而且可以培养学生集敛思维和发散思维能力，还能使不同水平的学生都有所提高．

总之，在中学数学中实施变式教学是培养学生良好思维品质的一种很有效的方式．这是符合新课程标准的要求的．对于课本例习题，需要我们去领会研究．教师设计例题的时间花“多”一点，学生练习的时间就“少”一点；教师设计的例题“精”一点，学生就会学得“活”一点，“好”一点．在数学教学中，要重视对例习题的变式，可以促使学生多角度、多方位认识问题，从而有利于培养学生勤于思考，乐于探索，乐于总结的良好思维品质，并能取得巩固概念，开拓思维，总结方法，进而提高学生解题能力和创新能力的良好效果，还能使不同水平的学生的数学能力得到发展．