如何求二次函数表达式

陈江萍

求二次函数表达式的问题是历年来的中考热点之一，为帮助同学们切实掌握求二次函数表达式的方法，这里笔者结合教学实例进行说明，与同仁们共同探讨，供同学们借鉴。

二次函数表达式主要有三种常见形式：一般式、顶点式、对称点式。

1．一般式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0)当已知抛物线上三个点的坐标时，通常设抛物线的表达式为一般式，再把已知三点坐标代入所设的一般式，建立关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，后代回所设表达式即可。

例1.抛物线过三点（0，1），（-1，-5），（3，-5），求抛物线的表达式

分析：因已知抛物线上三个点的坐标，所以可设函数表达式为一般式

解：设函数表达式为：y=ax2+bx+c,把三个点的坐标代入得c=1，a-b+c=-5,9a+3b+c=-5

解之得a=-2，b=4，c=1

所以该抛物线的表达式为：y=-2x2+4x+1

跟踪练习：抛物线过三点（0，1）（1，3）（-1，1）

答案：y=x2+x+1

2.顶点式y=a（x-h)2+k（a、h、k为常数且a≠0），（h，k）为抛物线的顶点坐标。当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，可以设表达式为顶点式，将题中剩余条件代入求出待定系数，再代回表达式，化为一般式即可。

例2．已知抛物线的顶点坐标是（1，-4），且过点（3，0）求其函数表达式。

分析：因题中给定的是抛物线的顶点坐标，所以可设顶点式来解。

解：设y=a(x-1)2-4，将点（3，0）代入得：4a-4=0所以a=1

因此y=(x-1)2-4=x2-2x-3

例3．已知抛物线的对称轴为直线x=1，且过点（0，-1），（3，2），求其函数表达式。

分析：因给定的是抛物线的对称轴，也就知道了顶点的横坐标，所以也可以把表达式设为顶点式。

解：设y=a（x-1)2+b，把（0，-1），（3，2）坐标代入得：a+b=-1，4a+b=2解之得a=1，b=-2所以函数表达式为：y=(x-1)2-2=x2-2x-1

跟踪练习：1.抛物线的对称轴是直线x=1，函数有最大值4，且过点（0，3），求抛物线解析式

2．抛物线的对称轴是直线x=-2,且过点（-1，3）（-4，0）

答案：1.y=-x2+2x+32.y=-x2-4x

3.对称点式y=a（x-x1)（x-x2)+h（a、x1、x2、h为常数，且a≠0）（x1，h），（x2，h）是抛物线上的一对对称点。当已知抛物线上的一对对称点时，可设函数表达式为对称点式，再将第三个点的坐标代入求出a的值，将a的值代回所设表达式即可。

例4．抛物线过三点（0，1），（-1，-5），（3，-5），求抛物线表达式。

分析：由于（-1，-5）和（3，-5）是一对对称点，所以可将表达式设为对称点式。

解：设y=a（x+1）（x-3）-5，将（0，1）代入得：-3a-5=1，解之得：a=-2

所以y=-2（x2-2x-3）-5=-2x2+4x+1

跟踪练习：1.抛物线与x轴交点的横坐标为-5，1，且与y轴交于（0，-10）点，求抛物线解析式

2..抛物线过三点（-2，7）（6，7）（3，-8），求抛物线解析式

答案：1.y=2x2+8x-102.y=x2-4x-5

以上三种形式是二次函数的主要形式，其中一般式和顶点式的练习题是重中之重，而许多题目计算量比较大，给许多同学带来困扰。希望通过上述学习可以给同学们带来帮助，熟练掌握求解析式的方法。