任意角三角函数的定义及相关课题教学初探

蔡玲

中图分类号：G633.64文献标识码：A文章编号：1673-0992（2010）05-081-03

摘要：掌握数学概念是学习数学知识最重要的基础，任何体系都是从概念的严密定义开始构建起来的。没有准确的概念就谈不上具体的数学对象和数学模型，也谈不上建立数学运算法则及其应用。

关键词：任意角；三角函数；课题；教学；数值

因为，数学概念定义的教学往往是数学新知识教学最重要的开端。整式，方程、函数如此，极限、导数乃至概率、群论等同样如此。所以，一个定义的出现和学生掌握的情况如何，直接关系到完成这段教材的教学和这段教材编写的成功与否。

我们来看“任意角三角函数的定义”及相关课题，笔者根据在职业培训学院进行的教学实践谈谈个人的体会和意见。

首先，给出任意角三角函数的定义，这是借助“比”而同时对六个三角函数进行定义的，这种坐标定义建立了“角”到“比值”的多对一对应，它是以角为自变量，以比值为函数的函数。这里应当特别指出，有了弧度制，就建立了一个以实数为自变量的函数。我们应当特别注意六个三角函数即六个比，这是三角函数定义的核心问题，我们在教学中强调，在这六个比中，r、x、y三者是如何有规律的变化，那种比法为角的那个三角函数，这必须要求学生了如指掌、熟练掌握。只有真正掌握了三角函数的定义，那么由此产生的许多相关课题，便能顺理成章，迎刃而解了。

一、由定义得出三角函数的定义域：

六个三角函数是六个不同的比，我们抓住分母若为o就使比失去意义轻松的得出三角函数的定义域。在sin=,cos中，r为正数，无论x、y为何值均有意义，既得正弦、余弦定义域为全体实数；对tan=,sec=,当x=o即的终边落在y轴上时没有意义所以正切、余切的定义域为x≠K(k);对cot=,csc=,当y=o时即终边在x轴上时没有意义，所以余切和余割定义域为x≠K(KZ)。

1、由定义确定三角函数的值域：

现在，我们用定义证明我们都熟悉的三角函数值域。

（1）-1≤sin≤1,-1≤cos≤1

证明：∵+=，r＞o

∴-r≤y≤r

即-1≤≤1

由sin=得

-1≤sin≤1,

类似可得-1≤cos≤1

(2)sec≤-1或sec≥1;

csc≤-1或csc≥1

证明：∵+=

∴o≤x≤r

当x≠o,有

≥1

由sec=可得

sec≤-1或sec≥1;

类似可得：csc≤-1或csc≥1

（3）-∞＜tan＜+∞,-∞＜cot＜+∞,

这里，可根据学生的接受情况，做一些说明。当的终边在K(K∈Z)终边的右边无限接近K(K∈Z)时，因为x无限接近于o，所以tan=无限增大，即tan趋向于+∞；当的终边在K(K∈Z)的终边的左侧无限接近K(K∈Z)时，tan=无限减小，即趋向于-∞。这就说明-∞＜tan＜+∞。同样可以说明-∞＜cot＜+∞。

教学中为便于学生记忆，可将sin∈〔-1,1〕，cos∈〔-1,1〕；tan∈〔-∞,+∞〕，cot∈〔-∞,+∞〕；sec∈〔-∞,-1〕∪〔1,+∞〕，csc∈〔-∞,-1〕∪〔1,+∞〕。

应当指出，虽然多数教材在给出三角函数定义后只强调定义域，而没有立即研究值域，但用定义的方法研究值域是非常有意义的，这实际上使定义更加完整，且能培养学生分析问题和解决问题的能力。当然，在学习三角函数图像时提出值域似乎也好，但笔者认为要精减教材的话，是否只讲y=sinx及y=sin(Ax+)这里常用的图像就够了。如果这样，在定义之后引入值域问题就更显必要了。

由定义导出三角函数值的符号：

在这之前，已知终边上某点的坐标，由定义直接计算过一些三角函数值，我们已经注意到这些数值的符号问题。我们可以启发提问，根据三角函数定义，三角函数值的符号取决于谁的符号？拿出定义中的六个比来看，问题非常明显，三角函数值的符号取决于x、y的符号，从而说明在哪个象限时它们分别是正值还是负值。因此联系定义容易确定sin与csc当在一、二象限时为正，其余为负，tan与cot当在一、三象限时为正，其余为负，而cos与sec当在一、四象限时为正，其余为负。

顺便指出，这段教材学生掌握容易但熟练却不易，后来往往因一个符号酿出一个大错，教学中我们做过这样的实践。

如果我们只记前三个函数，且我们只记正号的函数，其余为负，所在象限简称为一、二、三、四，可以有简单的口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦。”这是简单记的，当然这只为了记忆和使用的方便，其含意必须彻底清楚，实践证明，这种方法容易记，方便用，出错少。

2、由定义引出终边相同的角的同名各三角函数值相等：

因为任意角的三角函数定义只与角的终边及终边上某点坐标有关，而不管这个终边旋转的方向或旋转了几转而终止在此，这说明只有终边相同其同名三角函数值应相等，于是求任意角的三角函数值问题就可转化为0到2间的角的三角函数值问题了。

这里应当指出：f(2+)=f()(K∈Z)说明了三角函数的对应关系是“多对一”的对应，明确这个问题对于学习三角函数的周期性，明确三角函数在整个定义域内不存在反函数且只有置x于单调区间才有反函数或三角方程的解集等都是十分有意义的。

3、有定义证明同角三角函数基本恒等式：

三角函数基本恒等式是有定义直接证明的，我们可以用证明恒等式的方法证明其中任意一个，只须讲三角函数定义中的“比”代人即可。当然应当指明，只有+=1是绝对恒等式，而其余七个公式只有当取使关系式两边都有意义的值时才能成立。

有了这些公式可进一步说明三角函数的值域。

（1）∵cos=±为实数

∴1-≥0∴≤1

即≤1

类似可得≤1

（2）∵sec=±为实数

∴1+≥0

∴tan∈R

类似可得cot∈R

（3）∵≤1

∴≤1，≤1

即有≥1

类似可得：≥1

问题是用这种方法得出三角函数值域还是用前述的方法得出更好，或说明时候提出值域问题为更佳，这是值得我们认真研究的。但利用同角关系式导出三角函数值域以加强对知识内在联系的认识是十分有意义的。

4、有三角函数定义计算任意角的三角函数值：

这里，我们来讨论不用诱导公式，利用定义直接求任意角三角函数值的方法。

首先。根据三角函数的定义可知，如任何一个其始边为X轴正半轴，终边与X轴所成锐角为的角的任意一个三角函数的绝对值就是的同名三角函数值。

P(x,y)YYY

oXoXoX

P(x,y)P(x,y)（一）（二）（三）以上三图都表明：（1）

（2）

（3）

理由很清楚：因为由定义知，而显然有可见上述等式（1）成立，同理其余二等式成立。

当然，适合上述条件的角的终边是唯一确定的；因而它所在象限及终边上任意点P的坐标x,y的符号唯一确定，于是有，，的符号唯一确定。从以上分析知，只要计算出适合上述条件中的定角的终边与X轴成锐角，及终边所在的象限，就能求出的数值和，，的符号。这样我们就可以计算任意角的三角函数值了。

例1：计算sin

解：∵=16×+

∴角的终边在第三象限，且终边与X轴所成锐角为

-=

∴sin=sin=

又∵角的终边在第三象限，y﹤0，

即sin﹤0，∴sin=-sin=-

例2：计算cos()

解：∵=-12+

∴（）角在第二象限，且终边与X轴所成锐角为

∴

又∵角的终边在第二象限，x＜0，

即得cos()＜0，

∴cos()=-

我们可以给出求任意角三角函数值的步骤：

（1）求出任意角终边所在象限和它与X轴所成锐角；

（2）求出任意角三角函数的绝对值（即所成锐角三角函数值）；

（3）确定任意角三角函数的符号进而确定它的数值。

以上利用三角函数定义求任意角三角函数值的方法，无疑能使学生加深和巩固对三角函数定义的理解，并清楚的认识到锐角三角函数发展到任意角三角函数是那么的密切相关。