基于MATLAB软件的土建结构优化设计

徐进华

【摘要】简要介绍了MATLAB优化工具箱的特点及功能，并结合实例介绍了基于MATLAB软件的土建结构优化设计方法，与其他文献中的优化结果相比较，可以看出该方法简单有效，编程效率高且编程量小，非常适合工程设计人员使用，具有很好的应用前景。

【关键词】结构优化设计；MATLAB；非线性规划；应用实例

【Abstract】Fromseveralexamples,acivilconstructionoptimizationdesignmethodusingMATLABisintroducedinthispaper.Comparedwiththeoptimizationresultsinotherliteratures,itcanbeseenthatthismethodissimple,effectiveandneedlittleprogram,whichhighlysuitsforengineeringdesignersandhasawideappliedprospects.

【Keywords】Constructionoptimizationdesign；MATLAB；nonlinearoptimization；Applicationexampl

1.引言

土建结构优化设计是把结构优化设计理论和技术应用于土建工程中，通过对结构参数的优化设计，使某些指标达到最优值。对于一个实际的工程优化问题，首先要将其转化成相应的数学模型，即用数学表达式描述工程设计问题，然后按照数学模型的特点选择优化方法及计算程序最终求得最优解。实际设计中往往因为优化方法或初始参数选择不当而导致优化失败或无法得到全局最优解，而MATLAB软件的优化工具箱则选用最佳方法来求解,初始参数输入简单,语法符合工程设计语言要求,编程工作量小，将其应用于土建结构优化设计中，可明显节省时间、降低成本和提高效率。

2.MATLAB优化工具箱简介

MATLAB的优化工具箱提供了对各类优化问题的一个完整的解决方案。其内容涵盖线性规划、二次规划、非线性规划、最小二乘问题、非线性方程求解、多目标决策等优化问题。其简洁的函数表达式、多种优化算法的任意选择、对算法参数的自由设置，可使用户方便灵活地使用优化函数［1］。

实际工程中的土建结构优化设计大多属于非线性的约束优化问题,MATLAB优化工具箱通过调用fmincon函数来实现对此类问题的求解，其命令格式为：

［x,fval,exitflg,output,lamda,grad,hessian］=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,p1,p2,…)

参数说明：x为设计变量，fval为目标函数的最优值；exitflag为求解迭代结束状态；output为计算运行结果及详细信息；lambda表示返回最优解的Lagrange乘子；grad为显示最优解处的梯度信息；hessian为返回最优解处的Hessian矩阵；fun为目标函数；x0为求解迭代初值；A、b为线性不等式约束的系数矩阵和右端向量；Aeq、beq为线性等式约束的系数矩阵和右端向量；lb、ub为设计变量下限向量和上限向量；nonlcon为句柄函数或内联函数表示的非线性不等式约束和非线性等式约束；options为参数控制向量，由命令options=optimset()完成［1］。

3.基于MATLAB软件的土建结构优化设计

3.1桁架最小重量的优化设计。

铰接桁架，杆件①、②、③采用相同的截面面积；杆件④的面积为A2，L1=L2=L3=1000mm，L4=1732mm，［σ+］=0.16KN/mm2，［σ-］=0.1KN/mm2，E=207KN/mm2。现在要求该桁架在载荷作用下的结构最轻重量设计，使各杆件满足强度条件且结点的垂直变位不超过3。

3.1.1数学模型的建立。

由结点平衡方程可得各杆轴力，写成矩阵形式为

〖JB(［〗N1N2N3N4〖JB)］〗=〖JB(［〗20210-1〖KF(〗3〖KF)〗0〖JB)］〗〖JB(［〗P1P2〖JB)］〗=〖JB(［〗45-1-2〖KF(〗3〖KF)〗〖JB)］〗

为了满足应力约束，根据强度条件，可得出四根杆件的面积相应为25.00，31.25，10.00和34.65(mm2)，因此可以得到A1、A2面积的下限为：

A1=31.25mm2，A2=34.65mm2

由莫尔公式可知点的竖向变位约束为：

uA=〖SX(〗2000〖〗69〖SX)〗〖JB((〗〖SX(〗2〖〗A1〖SX)〗+〖SX(〗〖KF(〗3〖KF)〗〖〗A2〖SX)〗〖JB))〗≤3

整理得到本问题的MATLAB标准数学模型为：

求A1、A2

minW=3000A1+1732A2

s.t.28.99-11+16.73-11-1≤0

A1≥31.25

A2≥34.65

3.1.2MATLAB优化求解。

首先编写目标函数M文件myfun_1.m：functionf=myfun_1(x)f=3000*x(1)+1732*x(2);再编写非线性约束函数M文件mycon_1.m：function［c,ceg］=mycon_1(x)c=28.99*x(1)^(-1)+16.73*x(2)^(-1)-1;ceg=0;

选取初始设计点x(0)，在MATLAB命令窗口中编制优化程序：

>>x0=［50,50］T;

>>lb=［31.25;34.65］;

>>lu=［inf;inf］;

>>［x,fval,exitflg,output,lamda］=fmincon(@myfun_1,x0,［］,［］,［］,［］,lb,lu,@mycon_1)

3.1.3优化结果分析与比较。

应用MATLAB优化工具箱经13次迭代计算后得到本问题的优化结果A*1=45.7234，A*2=45.7140，目标函数W*=216350ρ，与初始设计方案相比较结构总重量降低约10%，设计变量及目标函数随迭代次数的变化曲线如图2、图3所示。文献3应用几何规划解法对同一结构进行优化的结果为A1=45.7200，A2=45.7200，W=216347ρ，可以看到本文的计算结果与其十分吻合。

3.2矩形截面钢筋混凝土简支梁的优化设计。

设梁跨度为l，荷载作用下截面最大弯矩为M，最大剪力为Q。只考虑满足强度约束条件和钢筋混凝土规范的构造要求。追求目标是梁本身所用的材料费用最少，不考虑制造费用，计算简图如图4。设计所需的各相关参数为：M=5910Kg?m，Q=4550Kg?m，K=1.45，RW=140Kg/cm2，R0=110Kg/cm2，Rg=3400Kg/cm2，a0=2.5cm，Ch=38元=M3，Cg=4500元/m3（所用符号与《钢筋混凝土结构设计规范》(TJ10-74)相同，Ch为混凝土单价，Cg为钢筋单价）。

3.2.1数学模型的建立。

取梁单位长度的价格C作为目标函数：

C=b(h0+a0)Ch+AgCg

实践经验和计算结果表明，梁的设计参数中，起主要作用的量是梁高h和下部钢筋面积Ag，可以确定为设计变量。

约束条件考虑如下几个方面：

抗弯强度要求KM≤RgAg〖JB((〗h0-〖SX(〗RgAg〖〗2bRw〖SX)〗〖JB))〗

抗剪强度要求KQ≤0.3Rabh0

超筋限制KM≤0.4Rwbh20

最小配筋率限制〖SX(〗Ag〖〗bh0〖SX)〗≥μmin

代入相关参数，计算整理得到本问题的MATLAB标准数学模型为：

minC=7.6(h0+0.025)+4500Ag

s.t.g=6597.5-6.6×104h0≤0

g2=859.5-11.2×104h20≤0

g3=0.0002h0-Ag≤0

Ag≥0，h0≥0

3.2.2MATLAB优化求解。

在MATLAB命令窗口中，首先编写目标函数M文件myfun_2.m：functionf=myfun_2(x)f=7.6*(x(1)+0.025)+4500*x(2);

再编写非线性约束函数M文件mycon_2.m：function［c,ceg］=mycon_2(x)c=8569.5-3400*10^4*x(2)*(x(1)-3400*x(2)/56);ceg=0;

选取b=0.2m，μmin=0.001，初始设计点x(0)=(0.50.0008)T，在MATLAB命令窗口中编制优化程序：

>>x0=［0.5,0.0008］;

>>A=［0.0002,-1］;

>>b=［］;

>>lb=［0;0］;

>>lu=［inf;inf］;

>>［x,fval,exitflg,output,lamda]=fmincon(@myfun_2,x0,A,b,［］,［］,lb,lu,@mycon_2)

3.2.3优化结果分析与比较。

应用MATLAB优化工具箱经10次迭代计算后得到本问题的优化结果h*=0.4434，Ag*=0.0006，目标函数C*=6.3556，与初始设计方案相比较单位梁长费用降低约20%，设计变量及目标函数随迭代次数的变化曲线。文献4应用拉格朗日乘子法对同一问题进行优化的结果为h*=0.4430，Ag*=0.000621，C*=6.3513，通过比较再一次验证了本方法的有效性和可靠性。

4.结论

通过以上分析及实例可看出，应用MATLAB优化工具箱进行土建结构优化设计问题求解，不必掌握各种复杂的优化算法，不用编写大量计算程序，提高了设计效率；同时优化工具箱选用较可靠的优化算法，可保证设计精度，它无疑将成为结构优化设计领域中的重要工具。

参考文献

［1］魏巍．MATLAB应用数学工具箱技术手册［M］：北京：国防工业出版社，2004，277-330．

［2］姜健飞，胡良剑，唐俭．数值分析及其MATLAB实验［M］．北京：科学出版社，2004，199-215．

［3］张炳华，侯昶．土建结构优化设计［M］：第二版．上海：同济大学出版社，1998．

［4］江爱川．结构优化设计［M］．北京：清华大学出版社，1986，67-70．

［5］席平原．应用MATLAB优化工具箱实现机械优化设计［J］．机械设计与研究，2003，19(3)，40-42．

［文章编号］1006-7619（2009）09-11-848

［作者简介］徐进华(1965.5-)，男，1986年7月毕业于太原工业大学应用力学专业，高级工程师，学士，一级注册结构工程师。