基于GPS高程的曲面拟合法分析与研究

温依

高明区测绘队广东佛山528000

摘要：GPS（GlobalPositioningSystem）技术是现代科学发展下的产物，其以精度高、速度快、费用省等优点被广泛应用。但由于我国使用的是正常高系统，而GPS高程是以WPS-84参考椭球面为基准的大地高，故GPS高程不能直接用于生产实践中。目前，虽然GPS高程拟合拥有众多的方法，但在小面积测区或控制点呈面状分布时，最常用的是曲面拟合法。本文将结合实例，重点比较曲面拟合法中平面拟合法、相关平面拟合法、多项式曲面拟合法的拟合精度，从而总结出科学选取曲面拟合模型和布置公共点的规律，为增加高程拟合精度提供参考价值。

关键词：GPS高程拟合、曲面拟合法、平面拟合法、相关平面拟合法、多项式拟合法

1、研究的目的与意义

目前，GPS高差的精度在5～10km以上的距离已达到三等水准测量的精度，在大范围内可接近二等水准精度。但GPS测定的三维坐标：大地经度、大地纬度和大地高，都是以WPS84参考椭球面为基准的，为大地高；而我国目前采用的高程系统为正常高高程系统，即以似大地水准面为参考面的高程系统。为此，在得到GPS高程数据后，如何对GPS高程进行数据处理，精确求定GPS点的正常高，成为我们研究GPS高程的意义所在。本文将重点研究分析当测区控制点呈面状分布时，曲面拟合法的三种拟合模型的拟合精度与哪些因素相关，得到的正常高能否在实际应用中得到广泛应用，同时总结出科学选取曲面拟合方法和布置公共点的规律，为将GPS高程广泛应用于生产实践提供依据。

2、高程系统

目前，我们常用的高程系统有：大地高系统、正高系统、正常高系统。

2.1大地高系统

大地高是指地面上某点沿法线方向到参考椭球面的距离，一般用符号H表示。GPS所测量的高程就是地面上某点到WGS-84椭球的大地高。

2.2正高系统

正高是指地面上某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离，但是由于地球质量分布不均，大地水准面很难准确求出。

2.3正常高系统

正常高系统是指地面上某点沿铅垂线方向到似大地水准面的距离，一般用符号h表示。

2.4各高程系统之间的相互关系

高程异常（𝜉）是似大地水准面和参考椭球面之间的高差，它可由在水准点的GPS观测导出，也可利用由GPS水准观测与重力观测网和地形高程模型构制的地球重力场模型求得。从理论上讲，实现GPS大地高向正常高转换的最好方法是综合利用GPS测量数据、重力测量数据和地球重力场模型，但对一般工程测量工作而言，无法获得必要的重力资料，因此，拟合方法成为一般工程测量中进行GPS高程转换的首选方案。

图1大地高、正高及正常高示意图

2.5GPS高程转换的基本原理

在一个测区内若有若干个既进行了测量又联测了水准高程的点，这样的点称为水准重合点，后面简称已知点。利用大地高和水准高之间的关系，推算出各水准点重合点上的高程异常，利用这些离散点上的异常值，可以拟合出测区所在局部区域的似大地水准面，进而可以内插出未知点上的高程异常，实现椭球高向正常高的转换，这是目前最常采用的函数模拟拟合法。

2.6实现高程转换的基本过程

进行相对定位测量，相对定位观测数据处理的结果为基线向量。一般同时提供有固定双差解、浮动双差解与三差解三种成果。对于短基线以固定双差解最好，中长基线以浮动双差解为好，有时三差解经过闭合差检验也是可以取用的。

我们通过网三维平差可以求得各点的大地高，正常高可以通过下式求得：

由于网中起算点的大地高精度往往不高，通常由己知正常高加上相应的高程异常求得，或是采用单点定位的结果，因而平差时一般只取一个点的大地高作为起算数据。由此求得的网中各点的大地高与实际大地高之间偏移了一个平移量，此时式变为：

从可以看出，虽然确定的大地高精度不高，但GPS基线向量的精度很高，因而各点之间的大地高差仍可达到很高的精度，所以在高程转换时，最好采用高程异常差建立模型。

如果在GPS网中某点PK处联测了水准，则

‚

由‚得：

（2）根据重合点的高程异常与水平位置，可以建立测区的高程异常差面，从而采用内插法可以获得网中其它各点的高程异常，根据网中待定点的大地高和上面所求得的高程异常便可求得工程需要的正常高，实现高程转换。因此，高程转换的实质是求地面上各点的高程异常。

（3）由公式可知，大地高转换成正常高，其精度主要取决于高程异常。虽然根据地球重力位模型结合高程数据得到的似大地水准面精度是远远高于单纯几何高程拟合得到的精度，但重力资料是很难得到的，这也是在众多高程测量中采用高程拟合的方法来求高程异常的原因。

3、GPS高程曲面拟合法

其基本原理是在一定区域内，高程异常呈平缓变化，利用侧区内一定数量已知点的大地高和正常高，求解出各点的高程异常值，将这些高程异常值近似看作一定范围内各点坐标的曲面函数，用这一函数计算其余GPS点的高程异常和正常高。这一模型函数可表达为：

根据所选系数不同，又可分为平面拟合法、相关平面拟合法、二次曲面拟合法、三次曲面拟合法。

平面拟合法的数学模型为：

相关平面拟合法的数学模型为：

二次曲面拟合法的数学模型为：

三次曲面拟合法的数学模型为：

4、拟合模型的精度评定

为了能客观地评定GPS水准计算的精度，在布设几何水准联测点时，适当多联测几个GPS点，其点位也应均匀地分布全网，以作外部检核用。若样本中既有拟合点，又有检核点，一般采用内符合精度指标和外符合精度指标来评定拟合结果的优劣。内外符合精度值越小，表明拟合和预测的精度越高；反之，则说明拟合和预测的精度越差。

4.1内符合精度

根据参与拟合计算已知点的值与拟合值，用求拟合残差Vi，按下式计算GPS水准拟合计算的内容符合精度µ：

式中n为参与计算的已知点个数。

4.2、外符合精度

根据检核点与拟合值之差，按下式计算GPS水准的外符合精度：

式中，为检核点数。

实例分析

5.1测区概况

Ｆ测区位于我国东南沿海，地形平坦，平均高程约３５０米，根据项目要求，结合工作区实际情况，在测区均匀布设GPS点21个，并建立GPSD级网，其首级网由8个点组成，在此基础上进行加密，并对部分GPS点进行了水准测量，工程面积为5.5平方公里。测区平面坐标系统采用Ｆ市独立坐标系，高斯克里格投影，高程系统采用1985国家高程基准。通过在该区域选择不同的公共点，剩余为插值校核点，运用平面拟合、相关平面拟合、多项式曲面方法，制定４个拟合方案，最后通过对比分析拟合结果，得出结论。

图2测量点分布简图

测量点数据如下表：

5.2高程拟合方案及结果

（1）方案一：随机选取公共点两套，每套含3个控制点，建立平面拟合模型，对其他点进行高程拟合。例如下表为选取IV01、GS03、G093作为控制点时，获得的平面拟合结果：

求出：外符合精度=0.028m，差值绝对值的平均值=0.022m，中误差=0.026m

（2）方案二：随机选取公共点两套，每套含4个控制点，建立相关平面拟合模型，对其

他点进行高程拟合。

（3）方案三：随机选取公共点两套，每套含6个控制点，建立二次曲面拟合模型，对其他点进行高程拟合。

（4）方案四：随机选取公共点一套，含8个控制点，建立三种拟合模型，对其他点进行高程拟合。

根据方案一例子，同理可得方案一～方案三拟合结果如下表：

方

案四拟合结果如下：

拟合结果分析

（1）方案一～方案三都是取要求最少个数的公共点，当公共点选取数目刚好符合拟合要求时，平面拟合法的精度相对较好，其次是相关平面拟合法，精度最差是二次曲面拟合方法，外符合精度达到0.953，拟合结果和实际相差较大。因为该测区位于东南沿海，地势平坦，所得到的高程异常组成的平面模型也是平滑平坦的。

（2）对比方案一～方案三中同一拟合方法的两组不同公共点拟合结果不同，特别是平面相关拟合和二次曲面拟合出的结果相差较大，可见拟合精度与公共点位置有较大关系。

（3）在方案四中，每种方法都选取8个公共点，均超过拟合要求数量的最低数。对比拟合结果可知：当选取公共点数目相同且超过数量的最低要求时，三种方法的精度相似，平面拟合方法精度较高，但内符合精度较低，结果稳定性相对较低。

（4）对比方案四与方案一、二、三的拟合结果可以看出：三种方法的拟合结果与公共点选取数量有关，且当选取的公共点数量越多时，三种方法得到的拟合结果的精度越好，且越稳定。

7、总结

（1）在GPS点呈面状分布，且地势较为平坦时，若联测的水准点数量适当并且分布均匀，曲面拟合法计算的高程异常值可以达到厘米级。

（2）虽然在曲面拟合法中，多项式曲面拟合最为普遍与基础，且适用的地形更为复杂，但当测区近似于平面或测区面积较小或测区位于沿海地区时，我们所得到的高程异常组成的平面模型一般是平滑平坦的，故采用平面或平面相关拟合法也可以满足一般工程的需求，而且计算更简单便捷。

（3）因曲面拟合法受公共点选取的位置以及数量的影响较大，故在实际操作中，应根据测区的实际地形情况，特别是在地形起伏较大的测区，需要通过增加联测已知水准点的数量，并尽量使其分布均匀，以提高拟合的精度。

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