线段和差定值问题解析探密——类比迁移能力的培养

叶伟军

武汉市新洲区阳逻街第一初级中学

中图分类号：G40文献标识码：A文章编号：1673-0992（2011）03-0000-01

定值问题是最近几年中考的一个热点，承担着区分学生能力差异、分层选拔人才的功能，而定值问题因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，故教师在教学时，应注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维，让他们解题时总有“似曾相识”之感，快速准确地找到解法。现就与圆相结合线段和差问题中的定值，结合自己的教学体会，谈谈类比迁移能力的渗透。

一、原型例题：

例1：如图，过点O，E（1，1）作⊙o’交X轴于N，交Y轴于M，问：

ON＋OM的值是否为定值？

解法如下：连OE，EM，EN，过点E作EP⊥Y轴于P，EQ⊥X轴于Q

易证：△EOQ≌△EOP△ENP≌EMQ

所以有：OQ=OPNP=MQ

∴ON+OM=OP-PN＋OQ＋MQ=2OP=2

例2：如图，过O，E（1，-1）作⊙o’交X轴于N，交Y轴于M，问：

ON-OM的值是否为定值？

解法如下：连OE、OM、ON过点E作EP⊥Y轴

于P，EQ⊥X轴于Q

易证：△EOP≌△EOQ△EPN≌△EQM

所以：OP=OQPN=QM

∴ON-OM=OQ＋NQ-（MP-OP）=2OP=2

类比例1、例2：

条件：E（1，1）变为（1，-1）

结论：0N＋0M变为ON-OM

证法迁移：内角平分线变为外角平分线

二、拓展：

例3：如图，过O，E（3，1）作⊙o’交X轴于N，交Y轴于M，问：

3ON＋OM的值是否为定值？

：条件：（1，1）变为（3，1）

结论：ON＋0M变为3ON＋OM

:连OE，EM，EN过E点作EP⊥Y轴

于P，EQ⊥X轴于Q

易证:△EOP≌△OEQ△EMP∽△ENQ

∴OP=EQ=1PE=OQ=3

∴MP=3NQ

∴30N＋0M=3(0Q-NQ)＋OP＋MP

=(3OQ+OP)+(MP-3NQ)

=3OQ+OP=10

例4:如图,过O,E(3,-1)作⊙o’交X轴于N，交Y轴于M,问:

3ON-OM的值是否为定值？

:条件E(1,-1)变为(3,-1)

结论:ON-OM变为3ON-OM

:连OE,EM,EN过点E作

EP⊥Y轴于P,EQ⊥X轴于Q

则EQ=OP=1OQ=PE=3△EQN∽△EPM

∴

∴PM=3QN

∴3ON-OM=3(OQ+NQ)-(MP-OP)

=3OQ+OP=10

三、推广小结：

过O，E（a,b）作⊙o’交X轴于N，Y轴于M

（1）当E点在∠MON内部时，则ON＋OM为定值，定值为a2＋b2

（2）当E点在∠MON外部时，则为定值，定值为a2＋b2

总之，数学的教学应留给学生充足的思考空间，教师应引导学生展开想象的翅膀，多观察，多类比，多归纳，多总结。把一些共性的问题通过数学建模使之公式化，便于学生理解记忆，灵活应用。