无单元法及其在岩土工程中的应用

纪鹏李伟宏陈燕

摘要：随着当前我国岩土工程数量的不断增多，与工程建设规模的不断增大，岩土工程数值分析已经成为最不可或缺的一项重要工作。在过去对岩土工程的数值进行分析时大多使用有限元法，但是实践证明，这种方法在实际的应用过程中仍存在许多问题。尤其是当岩土地基的情况较为复杂时，这种方法就更加有限，并且还需要十分巨大的人工工作。为有效应对此计算方法中的不足，相关研究者尝试使用无单元法，本研究就是在此基础上对无单元法及其在岩土工程中的应用进行了相应的探索，并通过实际的算例对其的应用前景进行了说明。

关键词：无单元法；有限元法；岩土工程；计算

引言无单元法在计算时所使用的方法主要为滑动最小二乘法，通过这种算法产生的光滑函数，在一定程度上与场函数近似，这样就可以在摆脱单元限制的基础上还能使有限元的一些特点得到保留。通过这种计算方法，使有限元算法中的诸多不足之处都得到了弥补与克服。与此同时，无单元法还能有效解决对复杂岩体工程中边界边值的求解问题，并且在此过程中所需要的也只有结点信息，而无需单元信息，在很大程度上简化了信息程度，尤其适用于对岩土工程的数值进行分析的工作中。

1无单元数值法简介

无单元数值法，也即自由单元法。这种方法是在过去所较常用的单元离散型数值法的基础上所演变出来的一种新的算法。通过这种计算方式，可以实现无限自由度向有限维数值的转变。在使用此方法进行计算时，通常是将计算范围内一些本部相关的点进行离散，而并不是将原有的单元进行离散，并使用移动最小二乘法，形成非线性的插值函数，之后将此函数应英语边值问题中，通过变分原理进行求解。实践证明，无单元法具有十分突出的优点，并且其数值技术也极为先进，所使用的思想也较为新颖，这种方法一经出现就得到了业界的广泛认可和关注。

2滑动最小二乘法

2.1基本公式

假设，场函数表示为U（X），其中（X）=（X,Y），当T为场点时，U（X）在n个结点上的值就可以设定为：

由此可使用滑动最小二乘法来计算出与U（X）相近似的函数，即：

其中，当处于二维情况时，p（x）通常可选取如下：

将滑动最小二乘法应用入上述公式中，可得出：

其中主要指结点为i时，权函数在x=（x,y）在T点的取值，而ni(x)则主要指在结点i处的形函数在X点的取值。

综合上述公式即可得出与形函数相关的坐标的偏导数，也即：

2.2权函数

在计算过程中，对于权函数Wi的选取尤为重要，只有选取的Wi较为适宜时才能使无单元法最终的计算精度得到保障。一般情况下，在选取权函数时应需要遵循如下几点原则：

首先权函数不能为负数，其次，对于某一结点出的权函数而言，再起自身的点位处其函数的取值应当最大，并且自所在处向远处方向要呈现出逐渐减小的驱使，同时当向外延伸至某个影响半径处时，应当减小为零，以此来减少计算过程中的计算工作量；最后权函数必须为连续可导的函数，以此确保近似函数也为连续可导函数。

在如上几点原则的基础上，可假设权函数如下：

由上述公式中不难总结得出，

综合上式得出的形函数ni（x）也存在关于坐标k-1阶连续导函数。

此时可知，当，wi在i结点处的取值则会越大，而当离i点越远时，wi的取值就会越小。此时，若，则权函数就具备了一定的奇异性。在此情形下，滑动最小二乘法就符合了相应的插值条件：

然而在实际的计算过程中，计算奇异性的数值时则存在一定的困难，因此实际的计算中ε的取值应当>0，但是在此情形下，近似函数并不能精确通过所有的节点。

本研究中，当k取值为4，时则能取得较好的计算结果。

在选取rmi时应当对其取值进行适当选取，此时在计算过程不仅需要使计算量尽量减少，同时，还能确保上式中的A的非奇异性应当被满足。当结点呈现均匀分布式，则：

其中，线性基时，n取值为3，二次基时，n=6，三次基时，n取值为10；c表示为结点的分布密度，α应为大于1的系数，在本研究中α取值为4.

3无单元法

3.1从变分原理推导基本方程

综合上式即可求得计算域中任意一点的近似位移，即：

所表示的势能分别为应变、初应力、已知力以及已知位移所产生的势能。

由此可得出整体的平衡方程应为：

3.2实现方法

在计算过程中，为得出上述公式中的积分数值，可在计算时通过使用一组独立于结点的网格结构，并把计算域分隔成多个积分子计算域，在每一个子域上都使用高斯积分。假设自子域上通过的且最后产生的全域内的高斯点位nG，每一高斯点积分权为wGi，则假设任一函数为f（x,y），其在域内的积分就可表示为：

无单元法的计算过程主要如下：

首先应当将结点布置好，之后再确定高斯点的位置以及其积分权；之后再对高斯点进行扫描，通过对每一结点的影响半径进行分析，并决定出对中对高斯点产生影响的作用点，之后再结合上述的公式形成最终的集成方程；然后当完成对高斯点的扫描后，即可执行如下的操作，如果不能完成，则继续扫描。最后则可求出应力，应变以及其他所需的全部数值，并对得出的结果做出分析。

结束语

在本研究中，通过对无单元法的相关理论以及其应用问题进行了阐述，并经实例予以证明，总结后发现，无单元法的优点主要表现在如下几方面：首先是计算过程中不需要单元，而只需要结点即可，计算前的处理较为简单；其次则是使用无单元法计算出的结果精准度更高，并且还能快速收敛；再则当使用此方法计算不可压缩材料是，不会出现剪切锁死的情况；最后则是无单元法提供了场函数的连续可导近似解。

当处理开裂问题时，无单元法将更加具备便利性，；而当在跟踪裂纹的扩展情况时，此方法秩序要在裂尖处布点，而不用进行网格划分。因此，综上可知无单元法未来将会有更加广阔的应用空间。

参考文献

[1]吴琛,杜喜朋,项洪,等.基于三变量伽辽金无单元法的杆系模型动力计算与参数分析[J].应用力学学报,2018,35(2):234-240.