谈一道中考双曲线的面积问题的几种变型

胡广龑

反比例函数Y=K/X(K≠0)中K的几何意义是：双曲线上任意一点P(X,Y),过P作X轴，Y轴的垂线，垂足为A,B.则S矩形AOBP=2S⊿AOP=2S⊿BOP=∣K∣,在解有关反比例函数与面积综合问题时，如能用这性质就方便的多了．下边是我对2011年陕西中考第八题的一点想法．

问题：（2011年陕西中考第八题）如图，过Y轴上任意一点P,作X轴的平行线分别与反比例函数Y=-4/x和Y=2/X的图像交于点A和B，若C为X轴上任意一点，连接AC,BC.则⊿ABC的面积是：（）

A．3B．4C．5D．6

图二

首先，让学生思考：

1.为什么要使AB//X轴？

2.点P可看作Y轴正半轴上的动点吗？

3.点C可看作X轴正半轴上的动点吗？

4.能不能用转化的思想

解答：方法一

设OP=A(A＜0),则点A的横坐标是-4/a,则点B的横坐标是-4/a,

∴AB=2/a-(-4/a)=6/a

∴S⊿ABC=1/2AB×OP=3

方法二

S⊿ABC=S⊿AOB=S⊿AOP+S⊿BOP=1/2×∣4∣+1/2×∣2∣=3

变式1：已知点P(2,0),点C(-3,0)其他条件不变．

变式2：已知点P(4,0),点C(2,0)其他条件不变．

变式3：已知点P(5,0),点C(1,0)其他条件不变．

它们的面积都等于3.

特殊一般

变式4：（2011年湖北中考）如图，双曲线Y1，Y2在第一象线的图像Y1=4/X,Y2=6/X.求S⊿AOB=?(AB//X轴)

分析：它与陕西中考第八题思路就类同，也是面积的转化．

变式5：（2011年湖北中考）如图，点A在双曲线Y=1/X上．点B在双曲线Y=3/X上，且AB//X轴,C、D在X轴上，若四边形ABCD是矩形．则矩形ABCD的面积是()．

思考：为什么又出现AB//X轴这一条件？若去掉此条件行不行，为什么？

变式6：若矩形ABCD的面积是2，点A在双曲线Y=1/X上．且AB//X轴,AC、BD垂直X轴，垂足为点C、点D．求点B所在双曲线的解析式？

分析：这与上题实质相同，只是条件与结论互逆而已．

变式7如图，过点P（3,4）作PA⊥X轴于点A,PB⊥Y轴于点B且PA、PB分别与某双曲线一支交与点C,点D，则AC/BD=()

思考：若连接OD、OC、OP,你还能得出哪些具有相等关系的结论？为什么？

变式8如图，过点P（3,4）其他条件不变，则AC/BD=（）

思考：如图，过点P（a,b）(a﹥0,b﹥0)其他条件不变，则AC/BD=（）

1.其中的规律又是什么？分析：AC/BD就是点P的纵横坐标之比

2.点P位置可在其它象限吗？为什么？分析：注意K的绝对值．

总之它们万变不离其宗，它们都利用了数学的化归思想，只要学生掌握化归的方法和原理，那么这类问题的解决就容易了．以上只是我个人的一点想法，又不完善的地方，敬请指正．