基于最小二乘法的双曲率汽车后视镜的理论研究

张海涛徐靖宇

利用传统的最小二乘法得到后视镜曲面的弊端是使后视野盲区难以测算，令问题变得复杂。基于本问题，本文采用移动最小最小二乘法，找到后视野盲区模型的求解域，并且利用Lingo建立约束方程并求解。这就将问题转化成优化问题，使得后视镜视野盲区与失真度问题可解。

关键词：汽车后视镜；移动最小二乘法；曲面拟合

1引言

当今社会，汽车后视镜的视野非常重要。如果使用凸面镜,可以以较小的镜面获得较为广阔的视野,但是存在一缺点，图像难以判断镜中物体与驾驶员的距离。有的是由两种镜面组合在一起的，他们分别是平面镜和凸面镜，这是为了兼顾两者的优点。目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜。最常见的是一种双曲率后视镜,内侧近似于平面镜,外侧近似于凸面镜,在它们两种镜面之间之间进行了平滑的过渡。

2移动最小二乘法

传统的曲面拟合方法都是最小二乘法，其原理是使误差的平方和最小，得到一个线性方程组。根据后视镜特性设计一种移动最小二乘法，相对于最小二乘法，它有三个显著特点：拟合函数的建立不同；引入紧支的概念；能有效提高拟合结果的精度。

3模型建立

现有双曲率后视镜缺乏数学模型和可靠的理论分析，针对这种现象，本文首先分析后视镜曲面特性，然后选用适合该后视镜曲面的方法，即移动最小二乘法对曲面进行拟合。得到具有一定精度的曲面方程，综合其曲率与畸变率的影响因素，设计相应的仿真算法，从而进一步进行仿真分析。

3.1移动最小二乘法基本原理

移动最小二乘近似函数定义为：假设待求函数（3.1）

式中，是计算领域内各点的空间坐标，是基函数；m是基函数个数；,是待定系数。对后视镜进行数据采集，得到m个数据点的点集

（3.2）

利用二次曲面对集合A进行最小二乘曲面拟合，得到系数,作线性变换，对上式去一次项，作正交变换，将其二次型化为标准型：

（3.3）

若，则拟合曲面为平面。否则，可得二次曲面的标准方程

（3.4）

3.2曲率半径与畸变率

曲率半径越大，弯曲程度越小，反之亦然。畸变率是衡量汽车后视镜是否合格的一个重要指标。在两坐标轴方向上计算两点间任意距离，以及距离的最小值、，最大值、，期望值、，标准差、。计算出镜面的变形率：x方向的变形率:y方向的变形率，平均变形率，x方向的最大变形率，y方向的最大变形率。

4曲面拟合

正交多项式和均有Forth递推法生成.

则

最后得到拟合多项式为

（4.1）用最小二乘法对测得的后视镜数据进行二元二次多项式拟合：

仿真算法的思路如下：

按照图建立坐标系，将后视镜镜面方程化为如下形式：确定眼点坐标，取点和.根据曲面方程上的一个点可以求出过这个点的法线方程：和法向量：.求出过眼点与法线垂直的平面方程：（4.2）

联立方程法线方程和与法线垂直的平面方程可解得眼点在法线上的投影坐标：.其中，.求对称点坐标：

反射光线的方程表示为：

如果由方程求解的逐步搜索法，就可以根据要求的视野范围求出大视野后视镜的基本尺寸，即由眼点位置及规定视野区域要求，利用反射原理，求出后视镜后视野镜面区域的边界坐标。如图4.5所示：

图4.5大视野左后视镜镜面形状

5结束语

最小二乘法的理论比较成熟，已经成为当今解决大多数问题成效最为显著的数值分析方法之一。它用途广泛，可以适合任何支撑条件的模型。本文建立的后视镜视野范围模型合理，计算精确度较高。模型采用了计算与软件分析相结合的方法，使问题的解决更具有说服力。建立的曲率与畸变率优化模型适用范围较广。模型建立和求解符合实际，为行车安全提供了理论依据。由于限制不能对模型进行更深一步的分析。

本模型可以进一步进行推广。将仿真环境向工程应用环境转化，在应用环境下，对建立大视野后视镜模型的方法和相关模型进一步做出完善优化。将所建立的大视野后视镜数学模型尽快推广到全系列，应用到工程实际，转化为实际生产力。进而将大视野后视镜的建模方法和解题思路应用到其它复杂曲面数学模型问题中。

参考文献

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[4]赵刚，吴淼，李昆，基于Matlab的汽车后视镜视野测试的仿真算法，计算机与数字工程，中国知网，2006年出版。