双节弹簧摆运动规律的研究

石峰

摘要：本文就双节弹簧摆的运动进行研究，运用拉格朗日方程和迭代法，先对单节弹簧摆进行研究并分析其运动规律，进而进一步研究双节弹簧摆的运动规律，并将研究结果在物理3D实验平台上进行模拟。Physic3D项目是由同济大学、清华大学等高校共同参与建设的物理演示环境，是一种3D人机交互式可编程底层平台，可对现行物理教学进行补充和加强。

关键词：双节弹簧摆；运动规律；模拟；3D实验平台；差分迭代法引言：我们在高中和大学期间学习了单摆的运动规律，但是在研究过程中我们可以发现一个问题，如果悬挂小球的不是一根线，而是一根弹簧，那么情况会变成怎样呢？如果不止是一根弹簧连着一个小球而是两个弹簧连接着两个小球，那么情况又会是怎样呢？我们在弹簧的的末端系一个质量为m的小球，这就构成了一个弹簧摆，这时只要用力轻轻地拉动小球，弹簧就会振动起来。

如果适当选择弹簧的长度，物块质量m，及弹簧倔强系数K（表示弹簧伸长单位长度强力的大小），我们就可以做成一个极为有趣的弹簧摆：当用力在垂直方向拉弹簧，弹簧开始作竖直方向的来回振动，成为一个弹簧振子。但它的振幅会逐渐减少，并同时开始左右摆动，摆动幅度越来越大，即弹簧振子的振动逐渐过渡到摆的摆动。之后，单摆的摆动又会转化为弹簧振子的上下振动，如此反复地振动、摆动、振动……那么这种运动有什么规律呢？

当用两根弹簧连接两个小球，这种规律又会发生什么变化呢?1.对单节弹簧摆的理论计算方法由于弹簧摆的运动比较复杂，我们参考了相关资料，最终确定了解决弹簧摆运动研究的理论计算方法：即以拉格朗日动力学方程为基础，运用初值通过差分迭代递推的方法来模拟小球的运动.在微小的时间?t内，由于摆长的变化很小，可以近似认为小球受到的弹簧弹性力为恒力，这样小球在每一个?t内都作匀加速运动，在每段运动末求出小球的位置，把这段运动的末状态量作为下段运动的初状态量，并重新得到摆长，求出下个?t运动时小球受到的弹簧弹性力，通过循环求出任一时刻t小球的运动参量，包括位置，速度等。

3.总结在这个问题中，我们默认双节弹簧末端的质量是一样的，即m?m?m12。在计算机程序演示双节弹簧摆效果的时候，由于相比单节弹簧摆，方程的复杂性倍增，增加了计算机的计算负担，导致双节弹簧摆的演示效果没有单节那么顺畅，如图2。

除此之外，对于由于初始假设时候带来的误差随时间的推延而积累的问题，我们还没有找到很好的方法去解决，这有待于采用更高级的算法。

参考文献：[1]《理论力学计算机模拟》，彭芳麟等，清华大学出版社；[2]《理论力学》，金江，东南大学出版社；[3]《弹簧摆运动的研究》管慧，李维善，南京理工大学，江苏，南京；