一类一元二次方程根的简便求解法

陈会英

在研究一元二次方程根的问题时，一些老师和同学，不管遇到什么情况往往习惯于用韦达定理求解，其实，有时直接求出方程的根，更能迅速快捷地解决问题。例如，当一个一元二次方程根的判别式“△=b2-4ac”是一个完全平方式（数）时，只要具备这一特征就可以考虑采用直接求根的方法进行求解，现举例说明。

例1已知关于y的方程y2－2my+m2－1=0的两实根y1、y2满足y12+y22=4，求m的值。

分析因为y2－2my+m2－1可以因式分解为(y－m+1)(y－m－1),所以很容易求出方程的根为：y1=m－1，y2=m+1，根据y12+y22=4，可以列出m满足的方程，从而求出m的值。

（1）有两个正根；

（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；

（3）一根大于3，一根小于3。

分析：因为x2－（2k－3）x+2k－4可以因式分解为(x－1)(x－2k+4),进而求出方程的根为：x1=1，x2=2k－4，根据各问题中对根的限制条件，可以列出相应的使k满足条件的不等式，从而求出k的取值范围。

解：把方程化为：(x－1)(x－2k+4)=0，

(x－1)=0或(x－2k+4)=0，

x1=，x2=2k－4。

（1）∵方程有两个正根，且已解得x1=1＞0，∴x2=2k－4＞0，解之k＞2。

综合x1和x2∴当k＞2，方程有两个正根。

∴当3/2＜k＜2时，方程有两个异号根，并且正根的绝对值较大。

例3已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5，问k取何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

分析因为x2－（2k+3）x+k2+3k+2可以因式分解为(x－k－1)(x－k－2),进而求出方程的根为：x1=k+1，x1=k+2，根据已知结合x1、x1可得出：AB≠AC，要是△ABC是等腰三角形，必须有AB=BC或AC=BC。

又∵△ABC是等腰三角形，故有AB=BC或AC=BC。

总之，从以上三个例题可以看出，只要是符合“△=b2-4ac”是一个完全平方式（数）这一特征的一元二次方程，就可以利用直接求出方程的根的方法，这样，不仅可以避免解繁杂的方程（不等式）组，还可以免除“△=b2-4ac”所带来的困扰，从而简化运算过程和方法，更能迅速快捷地解决关于一元二次方程的求解问题。