抵偿坐标系选择方法的研究

吴,林 ,邵东霞

［摘要］本文针对控制网边长经过高程归化和高斯投影改化后，长度变形值超过规范要求的情况，以椭球与高斯投影的相关理论为依据，结合测绘生产的实例，从理论和实践上对抵偿坐标系在选择方法上作一探讨，具有一定的实际意义。

［关键词］ 高程归化  高斯投影  抵偿坐标系

0引言

椭球面是一个凸起的不可展开的封闭曲面，在控制测量中，长度变形是不可避免的《工程测量规范》和《城市测量规范》都作出了以平面控制测量坐标系统的选择应以投影变形值不大于2.5cm/km为原则的规定。当超出了规范要求时，采取了人为地改变归化高程使高斯投影改化相抵消，并不改变统一3°带的主子午线，即所谓的抵偿坐标系投影改化方法，以其公式简单、适用强等特点，倍受广大测绘工作者的青睐。

1. 正常的高程归化和高斯投影改化数学模型

按照《国家三角测量和精密导线测量规范》的规定，所有大地测量的观测成果都须归化到参考椭球面上，并按高斯正投影计算其6°带或3°带平面直角坐标，为了使复杂的问题简单化，这里仅研究边长观测值的变化情况。

在图（1）中，AB为测区平均高程面上的基线长度，以表示，现在求其参考椭球面上的长度，由图中相似形的关系可知：

                 ---------------   (1)

将椭球面上的大地线长度投影到高斯投影面上，变为平面边长,长度比.

高斯投影改化公式：      ------------   (2)

将（1）式代入（2）式并整理得到高斯投影平面的边长为：

       ----------------------(3)

2. 抵偿坐标系

⑴ 抵偿坐标系的数学模型

当高斯投影改化后的长度变形值大于规范的规定值2.5cm/km时，采用人为地改变归化高程的方法，使高程归化及高斯投影改化能互相抵消。

即：             ----------------------（4）

式中为高程修正值。实质上，抵偿坐标系是将实地边长作为（）高程面上进行两项改化的，即由测区平均高程面直接归化到抵偿高程面上，再投影至高斯平面上，则抵偿高程面上的边长:

   --------------------(5)

为了说明问题和讨论方便，我们将高程归化分两段进行，如图（2）所示。

首先，由测区平均高程面归化至参考椭球面

椭球面上的长度,  ，按级数展开并取一次项，可得到。               -------------------    (6)

其次，再由参考椭球面归化至抵偿高程面

由，可得:

                     ------------------    （7）

将（7）式代入（6）式，可以得到抵偿高程面上的边长：

       -------------------  (8)

最后，投影至高斯平面上

------------ (9)

为了使经过高斯投影改化后的抵偿高程面上的边长与测区平均高程面上的边长相等，即:，由（5）式可得：

          ----------------  （10）

将（10）式代入（9）式可得：

或  ----------------- （11）

由（11）式按级数展开并整理可得：

              --------------------    (12)

⑵ 抵偿坐标系相关问题的探讨

① 控制网边长的变化情况：

由（12）式我们可以看到抵偿坐标系就是正常的高斯投影改化后的边长乘以比例系数,也就是将控制网按一定比例进行放大或缩小。为了进一步说明问题，现将（4）式进行整理可得到： ，当时，，比例系数等于1，控制网的边长等于高斯平面的边长，网形既不放大又不缩小，抵偿高程面在参考椭球面之上且与测区平均高程面重合；当时，，比例系数小于1，控制网的边长小于高斯平面的边长，网形缩小，抵偿高程面在参考椭球面之上且位于测区平均高程面之上；当时，，比例系数大于1，控制网的边长大于高斯平面的边长，网形放大，抵偿高程面在参考椭球面之上位于测区高程面之下。

② 抵偿地带宽度的变化情况

由于抵偿坐标系存在抵偿地带，对一个测区来说，随着地形地上下起伏，高程H值也发生变化，又是测区横坐标的平均值，完全抵偿只能在理想的条件下才能得以实现，抵偿的残差必然存在，若互相抵偿的相对残差为,按着规范的规定则有，即： 。      

在上式中,若以H为常量，取R=6371km，可得：，

以H值为引数，算得抵偿地带的高程和相应的横坐标区间如表（1）。

                                                             表（1）

H (m)	0	50	160	300	500	1000	2000
	0~45	0~52	3~64	42~76	66~92	104~122	153~166

对于抵偿坐标系来说，长度变形被抵消也仅在某一横坐标区域内，东西宽度也有限制，若横坐标变化值为△y，取互相抵偿的相对残差 为

，即：    ------------------ (15)

在（15）式中,取 R=6371km，可得：。我们以为引数，由上式可以计算出抵偿地带允许东西宽度如表（2）

                                                             表（2）

	10	20	30	40	50	60	75	100	128
宽度（km）	92	98	108	120	45	35	27	21	16

通过对表（1）、表（2）进行分析可知：对于一定的高程值和横坐标值，都存在一定宽度的抵偿地带，当测区的高程大于300m时，抵偿地带东西之间的允许宽度为24km；当＝60 km时，抵偿地带东西之间的允许宽度为35km，并且随着高程或横坐标值的增加而逐渐变窄。如果超出了允许范围，即使采用了抵偿坐标系东西边缘处的长度变形值仍大于规范规定的要求。

③ 主子午线和抵偿高程面最佳选择问题

无论是选择抵偿高程面，还是平移主子午线，或者是二者结合，其实质都是使经过两项投影改正后，测区内的长度变形值满足规范要求。

设经过两次投影变形之后的综合变形值为,

则：     --------------- (16)

令，将看作一个变量，是与相对应的一个定量，是在满足为最小条件下的另一个未知常量，根据最小二乘法，则有：

对上式的取一阶导数并令其等于零，经过整理可得：

     ------------------  （17）

进一步整理可得到测区中心处的横坐标值。

        -------------（18）

在（18）式中，有两种情况，前者只有一个正抵偿点，后者只有一个负抵偿点，当，则有；当，则有，长度变形的抵偿效果较差，当时，有两个对称的抵偿点，此时抵偿效果较好，当时，测区对称于主子午线，抵偿效果最佳。

3.算例

⑴ 我国东南沿海某测区，平均高程为，S=1000m,R=6367.5km,试确定主子午线和抵偿高程面。

按（18）式可得＝56 km，抵偿地带东西之间的宽度为39km，保持国家统一3°带的主子午线不变。

⑵ 辽宁西北部某测区，平均高程为，S=1000m,R=6375.5km,试确定主子午线和抵偿高程面。

按（18）式可得＝54 km，抵偿地带东西之间的允许宽度为40km，保持国家统一3°带的主子午线不变。

4 结束语

通过上述理论分析并结合实际算例的验证可以得到：在选择和使用抵偿坐标系时，应首先要根据测区东西边缘之间的宽度，来确定横坐标平均值的大小，在兼顾测区平均高程的同时，再依据值来确定主子午线位置和计算最佳抵偿高程面。

参考文献：

1.《城市测量手册》编写组. 《城市测量手册》，测绘出版社，1993.06。

2. 中华人民共和国行业标准.《城市测量规范》，（CJJ 8-99），中国建筑工业出版社，1999.06。

3. 孔祥元，郭际明，刘宗泉编著. 《大地测量学基础》，武汉大学出版社，2005.12。

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