行列式的降阶定理及其应用

姚远

行列式的计算是高等代数以及整个数学上非常重要的内容，行列式的降解定理对计算行列式有着重要作用，尤其是在解决分块矩阵或是对某一矩阵的所有的元素加上一个固定的值后计算行列式，本文主要介绍行列式的降阶定理及其应用。

首先我们介绍行列式的定义以及相关性质。

行列式定义：

性质：

1）若行列式有两行（列）对应元素成比例或完全相同，则该行列式为0.

2）若行列式有一行（列）的元素都为0，则该行列式为0。

3）把行列式某一行（列）的元素乘以同一倍数后加到另一行（列），行列式的值不变。

4）行列式每一行（列）的元素的公因式可以提到行列式外。

5）行列式转置，值不变。

6）互换行列式的两行（列），行列式改变符号。

7）

。：

对于分块矩阵，在应用上，我们常取主对角块Aij为方阵，有如下引理：

设|A|=|Aij|n×n是你阶分块矩阵，则以非零阵B左（右）乘其每一行（列）加到另一行（列）上去得到的新的分块行列式与原行列式相等。

接下来我们介绍两种降阶定理以及推论：

（第一降阶定理）对于分块矩阵M=且为方阵，A是非奇异阵，则|M|==|A||D-CA-1B|，

证明：假设E=D-CA-1B，则==|A||E|=|A||D-CA-1B|，

与上述第一阶级定理证明相同，行列换种方式变化时，会出现另一形式：|M|==|D||A-BD-1C|

上述定理是当A、B、C、D皆为方针时成立，接下来我们介绍不全为方阵时的情况。

推论：设A是n阶非奇异阵，D是m阶阵，B与C分别是n×m阵和m×n阵，则=|A||D-CA-1B|.

（第二降阶定理）设A与D分别为n阶和m阶非奇异阵，B与C分别是n×m阵和m×n阵，则|D-CA-1B|=|A-BD-1C|，证明由上述来看显然。

降阶公式在已知|A|并且B=A+αE，求解|B|时有着重要的作用，降阶公式的变形：当n>m时，|αEn-AB|=αn-m|αEm-BA|。

行列式的降阶定理有着极为广泛的应用，下面举例说明：

已知n阶可逆矩阵A=（aij）的每行元素之和都等于常数c，设B=bij，其中bij=aij+3 (i,j=1,2,3……n)若detA=d，求detB。

【解】：因为n阶可逆矩阵A=（aij）的每行元素之和都等于常数c，所以c是A的一个特征值且A-1的每行元素之和等于1/c。B=A+3E。

所以detB=|B|=|A+3E|=|A||1+3(1……1)A-1(1……1)T|=|A||1+|=d(1+)。

接下来我们介绍不可约多项式。设是K[X]中的一个次数大于0的多项式，如果在K[X]中的因式只有零次多项式和的相伴元，那么称是数域K上的一个不可约多项式，否则称在K上是可约的。不可约多项式在研究数域K上一元多项式环K[X]的结构中起着基本建筑块的作用。

互素的充分必要条件是在K[X]中可以求得多项式和使：，即和的最大公因式是1。这个是十分重要的。同时类似整除性，互素性不随数域的扩大而改变，我们于是可以得到三个性质：（1）在K[X]中如果|，且（，）=1，那么|。

（2）在K[X]中如果|，|，且（，）=1，那么|。

（3）在K[X]中如果（，）=1，（，）=1，那么（，）=1。以上三个性质极为重要。还有一个结论很重要：在K[x]中，如果（f,g）=1，那么（f,f+g)=1,(g,f+g)=1,(fg,f+g)=1。在证明互素上有很重要的应用。下面我们介绍以下不可约多因式：设是K[X]中一个次数大于0的多项式，如果它在K[X]中的因式只有零次多项式和的相伴

接下来我们介绍一下多项式的判定：

Eisenstein判别法：

在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。

直接判别法：

设是一个整系数多项式，其中，设存在一个素数，使得 不整除，整除（）但不整除，那么多项式在有理数域上不可约。

间接判别法：

有理系数多项式在有理数域上不可约的充分必要条件是: 对于任意的有理数和，多项式在有理数域上不可约。

由 Eisenstein判别法知在Q上不可约，因此在Q上不可约。

定理：设是一个整系数多项式，如果存在一个素数，使整除常数项但整除其他各项系数且不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。

还有著名的Kronerker判别法：

设，这里为有理数域。则在有限步下能分解成不可约多项式的乘积。

Perron判别法：

设是多项式，如果，则在Q上不可约。

Brown判别法

设是次整系数多项式，令，表示中1的个数，表示中的素数的个数，如果，则在Q上不可约。

对于不可约多项式而言，假设是K[X]中的一个次数大于0的多项式且是不可约多项式，那么对于K[X]中任意的都有｜或者是（，）=1.

接下来我们讨论实数域上的不可约多项式，若是实数域上的多项式

，c是的一个复根，那么c的共轭也是的一个复根。在实数域上的不可约多项式有且只有一次多项式和判别式小于0的二次多项式。实数系的奇次多项式至少又一个实根。解析来我们定义：设c1，c2，……，cm是一个非零实数的有限序列。如果cici+1<0，那么我们说，在第i+1项又一个变号。这个序列中变号的总数称为变号数。一个有限的实数序列的变号数定义为去掉这个序列中的0以后得到的序列的变号数。由此我们介绍追那个的Sturm定理：设f(x)是实系数n(n≥1)次多项式，令f0(x)=f(x)，f1(x)=f′(x)，则由带余除法，f0(x)=f1(x)q1(x)+r1(x).令f2(x)=-r1(x)，对f1(x)与f2(x)，由带余除法有f1(x)=f2(x)q2(x)+r2(x)，再令f3(x)=-r2(x)，并对f2(x)与f3(x)作带余除法，如此继续下去，得多项式序列：f0(x)，f1(x)，…，fs(x)，…，fm(x)，称为f(x)的斯图姆序列，斯图姆定理是：设f(x)是实系数多项式，且f(x)无重根，f0(x)，f1(x)，…，fm(x)是f(x)的斯图姆序列，若a0(a)，f1(a)，…，fm(a)的变号数V(a)与序列f0(b)，f1(b)，…，fm(b)的变号数V(b)的差V(a)-V(b)恰是f(x)在区间(a，b)内实根的个数，Sturm在1829年的论文《论数字方程解》中，深入地讨论了代数方程根的隔离，引入了斯图姆序列的概念，给出了Sturm定理。