典型粘弹性阻尼结构的振动特性分析与优化设计

张少博

摘要：旨在研究具有频率依赖性的黏弹性阻尼隔振系统的动力特性及优化设计。研究结果表明：相比于具有同等静态刚度的线性隔振系统，黏弹性阻尼隔振系统具有更高的阻尼比，较宽的隔振曲线放大区，相对较高的自振频率；可通过优化弹性单元与黏弹性单元的刚度比获得较优的系统隔振效率，最优数值取决于隔振目标。

关键词：黏弹性阻尼材料；隔振系统；分数阶导数开尔文模型；动力特性；参数优化

。

1隔振系统理论模型

1.1 隔振装置

本文所研究的隔振装置由弹性单元和黏弹性单元组成，其构成的隔振系统力学模型如图1（a）所示，其实际构造参照图1（b）。隔振装置在系统重力作用下会产生一定的静位移，该位移与隔振系统的静态频率存在如下关系

Δ=α/

(1) 式中，α为荷载安全系数，g为重力加速度，w。为隔振系统的静态频率。静态频率越低，装置产生的静位移越大，由于构造形式的特点，圆筒式黏弹性阻尼器不能提供和螺旋弹簧相当的变形空间。与设计静位移的关系表示如下

K Δ

Δ1+Δ2

(2) 1+ K

式中，к为螺旋弹簧与黏弹性阻尼器的刚度比，决定了A.和A、如何分配k的取值取决干隔振目标 这样的构造设计弥补了圆筒阻尼器的变形空间有限的缺陷，在实际工程中，当静荷载施加完成，可通过拧上螺杆上的紧固螺栓进而实现动力荷载下螺旋弹簧和圆筒黏弹性阻尼器的共同变形，如图1（b）所示。

1.2 数学模型建立

螺旋弹簧在动力荷载作用下产生竖向变形，产生的恢复力与位移幅值呈正比；而圆筒黏弹性阻尼器在动力荷载下产生剪切变形，其提供恢复力的频域表达形式为

/=

G1(1+in)x

(3) 式中，x为动位移幅值；i＝—1，为虚数单位；n、A，和h，分别为黏弹性阻尼层的剪切层数、剪切面积和剪切厚度；G1和η为黏弹性材料的剪切储能模量和损耗因子。

[11]

被用来表征G1和η G1=q0+q1a'w'cos(π/2r)

(4) q1a'w'sin(π/2r)

(5) u

q0+q1a'w'cos(π/)

α,=10

-12(t-to)/[525+(t-to)]

(6) 式中，90、q1和r为黏弹性材料的弹性系数、黏性系数和分数阶的阶数；α，、t和t。为温度转换系数、环境温度和参考温度；w为激励频率。从式（4）和（5）中看出，G1和η均是激励频率的函数，表现为典型的频率依赖性，而q可以看作是静载下黏弹性材料的剪切储能模量。根据力和位移的协调关系，等效的材料参数可以写为

G1=90+q1awcos(π/2r)

(7) q1a'w'sin(π/2r)

n

(8) Go+q1a'w'cos(π/2r)

(9) by+b=b

式中，G，和n为等效黏弹性材料的剪切储能模量和损耗因子。将式（7）和（8）代入式（3）中，可以获得隔振装置提供的恢复力。隔振系统的动力学方程的频率形式表示如下

-w2mx+f"=sx

(10) 式中，m为隔振系统的质量；s，为基底输入加速度谱。定义隔振系统的自振频率为w，（w）＝✓real（j＊／x）／m和λ（w）＝w／w，，可以获得隔振系统的隔振效率

Eff(w) x+x

1+㎡2(w)

(11) x

V(1-(w))2+(w)

图2为隔振系统的隔振效率曲线，当λ＝1时，隔振系统产生共振，加速度放大显著，且n越小，隔振效率峰值越大；当λ＞／2时，隔振系统的加速度得到了有效隔离，且n越小，隔振效果越好。

2 频率依赖性的影响

2.1 黏弹性影响系数

这里的隔振截止频率指的是λ＝2下的激励频率，表征了隔振频带的大小。通过求解以下特征方程，可以获得隔振系统的自振频率

=w (12) (π/2)00,,b+b=m

式中，T=/nA，/mh，为构造参数。从式（12）可以看出，若不考虑黏弹性材料的频率依赖性，隔振系统的自振频率等于静态频率w。=T，隔振截止频率则为静态频率的2倍。将静态频率w。代入式（12），隔振系统的特征方程改写为如下形式

w, = w

1+α'w'cos(r) =

(13)

隔振系统的自振频率和截止频率需要求解如下非线性方程

2ג =

μ

(14)

1+α'w'cos(r)

式中，μ=w/w。为所求解的无量纲量。为了简化方程

（14）的求解，定义β＝μ／φ来代替μ作为所求量代入式（14）得

\+\(π/=

(15) °b

φ通过选取合适数值以满足泰勒级数展开的条件｜β—1｜≤1。考虑黏弹性材料的频率依赖性的程度，当λ＝1时，φ＝3；当λ＝／2时，φ＝5。

w＇和w。的关系可以近似写成

w'=φ(1+β-1)1+r(β-1)+ 1/2(β-1)2+o[(β-1)]]

(16) 将上式代入式（15）得到式（17），将非线性方程的求解简化为了关于β的一元二次方程的求解

91

-a'φ'w0cos

(π/242-φ2)+ 2/)

ob

βx/π+ ob

(x2+x2/aφ10,cos(

(π/2r)(1-r+/2))=0(17) qo

最终求得的μ＝φβ被定义为黏弹性影响系数，该系数表征了静态频率和隔振系统自振频率、截止频率的定量关系。当λ＝1时，μw。为隔振系统的自振频率；当λ＝／2时，μw。为隔振系统的截止频率.

2.2 数值验证

为了验证和分析所定义的黏弹性影响系数，其分数阶导数开尔文模型的参数为qo＝6.2x105Pa、q1＝9x104Pa、r＝0.5、to＝100℃和t＝25℃，不考虑螺旋弹簧的贡献，即k＝0。图3为该黏弹性材料在不同加载频率下力学性能指标。从图中看出，G1和η均随着激励频率的增大而明显增大，同时发现η在低频区域内具有较大的数值，可以提供足够的阻尼比，提高隔振系统的整体稳定性。

-

为了验证2.1节提出的黏弹性影响系数的简化求解方式，图4给出了不同静态频率下黏弹性影响系数解析解（14）和近似解（17）的比较。从图中看出，无论在λ＝1还是λ＝2，黏弹性影响系数的解析解和近似解吻合度均很高，

为了进一步体现频率依赖性的影响，从图中看出，G1的频率依赖性会使隔振效率曲线的变宽，这与图4给出结果一致；另一方面，η的频率依赖性促使了共振峰值的降低，但此效应的实现是建立在G1的频率依赖性的基础上，其原因是n会随着加载频率的增大而增大，而共振峰值的大小是由共振频率下的η所决定的，共振频率则会受到G1的频率依赖性所影响。

3 刚度比优化分析

基于上述分析，可以认为黏弹性影响系数的大小实际上表征着G1和η随激励频率变化的剧烈程度。从式（7）、（8）和（9）可以看出，在隔振系统的静态频率保持不变的前提下，当弹性单元与黏弹性单元的静态刚度比k增大时，G1和η的频率依赖性减弱，即黏弹性影响系数减小，同时隔振系统的阻尼比也相应减小；当刚度比k减小时，黏弹性影响系数和隔振系统的阻尼比则会增大。

本

(18) 从式（8）看出，k的最终取值需要进行n次积分后决定，n取决于k的取值精度和范围。为了减少计算量，可将全频率带的隔振效率信息简化为隔振效率曲线峰值和截止频率的大小，定义隔振效率曲线峰值和λ＝2下的黏弹性影响系数的乘积作为简化的目标函数

1+㎡2(wx=1)

(19) F'=μλ=

V

㎡(wx=1)

式中，㎡（wx＝1）为隔振系统的等效的阻尼比。

图6以目标函数值／目标最小值作为归一化函数值，比较了不同刚度比k取值下的整体目标函数和局部目标函数。从图中可以看出，式（19）可以用来评估含有黏弹性单元的隔振装置的整体隔振效率，同时该式的计算量很小，

4 结论

（1）相比于弹性隔振系统，加提高了隔振系统的阻尼比，增大了隔振系统的自振频率，拓宽了隔振效率曲线中的放大区域。

（2）黏弹性材料的剪切储能模量的频率依赖性是使隔振效率曲线的变宽的主要原因，损耗因子的频率依赖性促使了曲线峰值的降低

（3）弹性单元与黏弹性单元的刚度比决定了系统的隔振效率。

参考文献

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