欠定盲源分离混合矩阵的时频分析估计方法

 刘伟国,高峰,隋云丰,侯彦军

摘  要：在盲源分离信号处理中，尤其在欠定条件下(观测信号数目大于源信号数目)，精确的估计混合矩阵是具有挑战性的问题。现存部分方法利用信号的稀疏性进行求解，并假设在时域或者时频域中源信号不重叠，然而这类方法在假设条件不满足，即源信号部分重叠情况下随着信号稀疏性降低性能恶化明显。本文针对具有较弱稀疏性的源信号，提出了一种基于时频分析的欠定盲源分离的混合矩阵估计方法。首先，利用源信号时频变换后系数实部与虚部比值的差异性选择单源点；其次，运用经典的聚类方法估计解混合矩阵的各向量。仿真结果表明：提出的方法简易可行并具有较好的估计性能。

关键词：盲源分离；时频分析；矩阵估计

1、引言

盲源分离(Blind Source Separation)技术在过去20年里发展迅速，其较强的信号处理能力使其在各信号处理领域得到了广泛的应用。给定混合系统，盲源分离的目的就是在未知源信号和混合系统的情况下估计出源信号。欠定盲源分离(UBSS，Underdetermined Blind Source Separation)就是指输入的源信号个数多于观测信号个数，在这种情况下，通常方法无法寻找混合矩阵的逆矩阵，所以一类基于信号稀疏性的求解方法应运而生。这类方法利用源信号的稀疏性来估计混合矩阵并且恢复源信号，信号的稀疏性指的是在一定的范围内大部分信号值为零，只有极小部分信号值存在。

欠定盲分离问题一般由两步法解决：第一步估计混合矩阵，第二步恢复源信号。现有的部分算法利用了信号时域稀疏性，假设源信号是具有拉普拉斯分布的稀疏信号从而解决欠定盲分离问题。当信号不具有时域稀疏性，部分学者利用信号在变换域的稀疏特性来解决欠定问题，例如时频变换。最早利用时频域稀疏性来解决适定问题，DUET算法来解决欠定问题，Linh-Trung et al.运用聚类算法[13]处理欠定问题, 此类算法基于信号在时频域的正交假设。然而在实际中，正交假设过于严格，准正交条件下利用子空间估计方法解决欠定问题，此方法同时假设在任一时频点上的源信号数目少于观测信号数目； 放宽了正交条件并且假设任一时频点上的源信号数目小于等于观测信号数目。最近，利用相关矩阵对角化的方法解决欠定问题，这种算法比放宽了稀疏条件并且对混合矩阵没有特殊的约束一种基于部分k维子空间聚类的混合矩阵估计方法，一种未知源个数的NPCM方法来估计混合矩阵。这两种方法的思想是在完全稀疏的情况下最优化目标函数来寻找混合矩阵，那么当信号并不是完全稀疏的情况下，以上方法并不能很好解决欠定问题。文一种基于非完全稀疏情况下欠定混合矩阵估计方法，此类方法仅仅需要少部分时频点，而此类点上仅存一个源信号。一种此类时频点的判定方法，并且用特殊的聚类方法估计混合矩阵。

单源点判定方法具有一定理论性，但是比较复杂。针对此，本文提出了一种更为简单的判定方法。该方法的特点：首先放宽了对源信号稀疏性的条件，仅要求存在部分单源点；然后利用STFT变换后不同观测信号实部、虚部比值分别相等的思想进行单源点判定；最后利用已判别的部分单源点进行混合矩阵的求解。

2、混合矩阵列向量估计

对时频域中的单源点进行有效估计后，利用经典的k-means聚类算法进行混合矩阵的估计。众所周知，k-means聚类算法对门限阈值比较敏感，其并不是最好的聚类方法，尤其是在未知聚类个数的情况下。重点在于有效的估计了时频域的单源点，读者研究未知聚类个数情况下的其他聚类方法可以。然而在已知聚类个数的情况下，k-means聚类算法可以达到较好的性能，且复杂度较低。

3、仿真与分析

    对欠定条件下(UBSS)，对本文提出的基于时频域单源点判定的混合矩阵估算法在盲源分离混合矩阵估计的均方误差(MSE, Mean Square Error)性能进行仿真分析。算法的具体仿真条件如下：

(1)欠定条件下，源信号个数N=3，观测信号个数M=2；

(2)混合矩阵的列向量给定如，其中、和；取0.01~0.1，，；

(3)利用时域稀疏性较弱的话音信号，采样频率8kHz, 源信号点数，STFT 尺寸为1024；

通过选择不同的门限来确定选择单源点的个数，研究选取单源时频点的有效性。随着增加，选出单源时频点数目百分比的变化情况。仿真中，SNR定义为观测信号分量和加性高斯白噪声的比值。从图中可以看出，当从0.0变化过程中，选出的单源点百分比为1%~2%。当选取较大时，大量的时频点将被当作单源点选出来，其中包含大量多源点，故本文求矩阵时，取值为0.01~0.1。                         

其中为估计后的混合矩阵。选择合适的门限，采用50次随机选择源信号仿真，混合矩阵估计的平均性能如图8所示。在门限取值为0.01~0.1，即利用单源点数目为1%~2%进行混合矩阵估计时，算法的混合矩阵估计性能能够达到-42dB左右。

对在加性高斯白噪声下，算法的鲁棒性进行了验证。已有算法为中提出的方法，当信噪比大于20dB时，两种算法性能相当，对较小的噪声均不敏感；当信噪比低于20dB或者15dB时。

随着源信号数目增加，由于单源点总数不变而属于各分量的单源点数减少影响估计精度，两种算法性能均随源数目增加而不断恶化。可以看出在高信噪比下，性能相当且趋势相同；低信噪比下，本文方法具有较好的性能。

4、结束语

本文利用STFT变换方法，结合经典k-means聚类方法，提出了一种简单易行的基于时频域单源点鉴定的混合矩阵估计算法。理论推导和仿真标明：算法可以有效的鉴定时频域上存在的单源点；不同信噪比下，本文算法具有较好的MSE估计性能，并且算法实现简单易行。

参考文献

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