“惰性”亦是一种美

聂华斌

〔摘要〕本文以高考中圆锥曲线的常考查的量之间的关系为出发点，通过类比的思想，探索圆锥曲线中过焦点的直线的斜率、焦点弦被焦点分成两段的比值、焦点弦的长度及离心率之间关系，得出一个具体的关系式即两个推论。

〔关键词〕圆锥曲线离心率焦点弦斜率弦长在对这些年高考的命题趋向的分析时，发现全国卷中常考查圆锥曲线与过焦点的直线相交问题，其考查方向多为由离心率、直线的斜率、焦点弦被焦点分成两段的比值，焦点弦的长度中的部分量来求其他量的问题，学生在求解时往往耗时较多，而且准确率也不是很理想，那么有没有一个关系式能够直接将这些量有机结合起来呢？

在圆锥曲线的一节习题课中，笔者设计了一个初探高考的环节，选用了2009年全国Ⅱ卷上的第9题2009年全国Ⅱ卷上的第9题与第11题、2010年的全国卷的第12题、2011年新课标卷的第7题，以此来说明这部分内容的重要性，并希望通过规范书写，让学生加深印象，解完三道题后学生就不愿意做了，并提出了这样的一个问题：“这样解来解去太烦人，有没有一个简便的公式可以直接算的？”其他学生也跟着说：“对呀，有没有简便的公式？”其实，当时笔者也不知道有没有这样理想的公式，只是觉得现在的学生很懒，同时也认为做小题应该花尽量少的时间，于是就进行了一次教学探究。

1合作探究问题1：找公式那公式中应该包含哪些量？其成立的条件是什么呢？学生甲：就以前面几个题的条件为条件，涉及到的量为公式中应包含的量。学生乙：但前面几个题的条件不一样呀？（一会儿）学生丙：先以多数相同的条件为条件吧，找这些题中涉及的量之间的关系。

学生丙的话得到了大家的认同。确定的条件为：过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，找离心率、斜率、焦点分弦长的比值，弦长的关系。

问题2：在椭圆中过焦点的直线与其相交于两点，离心率、直线的斜率、焦点弦被焦点分成两段的比值、焦点弦的长度之间有何关系？

作者单位：新疆石河子市第一中学