沉淀问题意识 发展思维能力-“鸽巢”问题教学思考

舒俊华

摘要：问题对于数学学习是非常重要的，不仅能活跃学生的思维，而且随着课堂核心素养的不断深入，将问题驱动理念融入到课堂教学，以教师的“导”辅助学生的学，使学生围绕具体的问题进行自主学习、探究与合作交流，不断培养学生应用的意识和实践创新的能力。在创设问题时要根据“最近发展区”理论，以问题作为教学的滋生点，构筑高效数学课堂。 

关键词：课堂教学 鸽巢问题

众所周知，小学《数学课程标准》在每个学段都安排了四个领域的学习内容即：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用。不管是那个模块，问题就像一条主线始终是贯穿其中，教师把需要的问题进行设计整合、加工运用、融合于自己的课堂教学中，以实现教学目标，突破教学重难点；《义务教育数学课程标准（2011年版）》从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面，对义务教育阶段数学课程总目标加以阐述，问题解决是其中的四个维度之一，可见基于问题解决，能有效促进学生数学素养乃至核心素养的目标得到实现。只有在具体的、基于真实背景的复杂数学问题的解决过程中，人的素养或数学核心素养才可能得以彰显和养成。在一次次的“打磨”过程中，如何让学生经历“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会运用“鸽巢原理”解决一些简单实际问题，增强对逻辑推理、模型思想的体验，提高学习数学的兴趣和应用意识。实际上“抽屉原理”（即“鸽巢原理”）就是在解决某种特定结果的数学生活问题的模型，就是一种数学的思想和方法，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力。

一、“抽屉原理”（“鸽巢问题”）由来及经典案例阐述。

抽屉原理是组合数学中的一个重要原理，最早提出这个数学原理的，是十九世纪德国数学家狄利克雷（Diriclet，1805--1859）并应用于解决数论中的问题，因此，这个原理被称为“狄利克雷原理”。又因为在讲述这个原理时，人们经常以抽屉、鸽巢为例，所以又被称为“抽屉原理”或“鸽巢原理”，这个内容放在人教版六年级下册第五单元数学广角中。其中有两个经典案例：案例一、把10个苹果放进9个抽屉，总有一个抽屉至少放进了2个苹果，所以被称为“抽屉原理”；案例二、6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，因此，又被称为“鸽巢原理”。在这类问题中，只需确定某个物体的存在，不需要指出具体是哪个物体。《数学课程标准》指出：“让学生经历具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力”，所以本课时从三个环节入手即问题情境----建立模型-----应用拓展。在观察、比较、分析、推理、中引导学生经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理，并用模型来解释生活中的简单问题，发展学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养学生的推理能力、抽象能力、模型思想、数学符号等数学核心素养。

二、“鸽巢问题”教学中的几点思考

如何让学生的数学思维在探究学习中得到发展，通过进一步研读《教师教学用书》、《数学课程标准》对“鸽巢问题”的教学内容、教学目标进行了梳理和分析，结合自己在溆浦县江维学校送教送研观摩课课谈谈“鸽巢问题”采用探究式教学的一些思考。

（1）以问题驱动为情境，激发学生学习数学的兴趣。

教学本课时，采用问题作引入。学习数学就是发现问题并解决问题，同学们请看把4支铅笔放进3个笔筒里你会摆吗？学生兴趣盎然的说会摆，但老师话锋一转说：“这么简单的问题一二年级的小朋友都会摆，如果还让你们来继续摆那岂不是大材小用了吗？所以我要把这个题目再变一下提升一点难度，可以吗？有没有信心来挑战一下？把4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样摆总有一个笔筒至少放进（ ）支铅笔。”让学生带着最饱满的状态进入本课内容的学习，初步解读“总有”、“至少”是什么意思，为结论的得出提供理论支撑。

（2）注重操作感悟，经历合作探究。

《数学课程标准》中强调，学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，还应强调自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等，这些都是学习数学的重要方式之一，这些方式有助于发挥学生学习的自主性。通过头脑的操作，枚举4种摆法，把4支铅笔放进3个杯子里，可以怎样摆？(4,0,0)，（3,1,0），（2,2,0），（2,1,1），发现不管怎么摆，总会出现什么情况？引导学生关注在每一种放笔最多的笔筒里放笔的数量都一样吗？而我们在放笔最多的笔筒里却找了一个放笔最怎么样的-------（最少的）理解“不管怎么放”“总有一个杯子里”“至少2个”的含义。让学生在头脑操作、小组合作交流中得到所有的4种不同的放法，并通过观察，发现一个必然存在的现象：不管怎样放，总有一个盒子里至少有2枝笔，让学生具体感知这一结论，形成抽屉原理的初步模型，同时感知记录的多样及优化。

（3）让学生经历“数学证明”的过程，培养学生“模型思想”。

把4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放（稍微停顿一下）总有一个笔筒至少放进2支笔，除了把所有情况一一列举出来发现这个结论，还有没有其它的方法也可以证明这个结论呢？学生思考---组内交流---汇报。生：我是这么想的，先把每个笔筒里各放1支铅笔，剩下的1支铅笔随便放在哪个笔筒，都会出现总有一个笔筒至少放进2支铅笔。谁听明白了？谁再来重复一下？是的，这样分就会是放得最多的笔筒里笔尽可能的少，其实这种假设分的方法就是-----平均分（平均分就是最不利的一种分法）。还可以用其它方法来表示平均分的过程吗？生：4÷3=1……1 1+1=2。通过问题驱动，如何用一种方法证明结论的正确性，让学生再次的操作思考哪种情况能证明结论的正确性，即平均分的方法是最不利的情况。思考“抽屉原理”的问题，我们就是去想最不利的情况，既让学生知其然，还要知其所以然。

如果是7支铅笔放进6个笔筒，至少有一个笔筒放进（ ）支铅笔？生：7÷6=1……1 1+1=2。观察笔和笔筒的数量可不可以用一句话概括呢？把n+1支笔放进n个笔筒，不管怎样放，总有一个笔筒至少放进2支笔。将思维过程与数学符号联系起来，对比分析，揭示出总有一个抽屉里至少放有“商+1”个物体。让学生经历数学证明的雏形，不仅能提高学生逻辑思维能力，还为以后学习数学证明做了铺垫，促进学生对知识的建构，帮助学生积累数学活动经验。

（4）在问题的变式中再次体会“鸽巢原理”。

在生活中我们也可以找到与“鸽巢原理”有关的事情，比如：任意找（ ）位同学，至少有2人在同一个月过生日；任意找3位同学，至少有2位同学是（ ）；5只鸽子飞进3个鸽笼，不管怎样飞，总有一个鸽笼至少飞进（ ）只鸽子。设计灵活的问题，而不至于学生死搬硬套“鸽巢原理”的一般性，“鸽巢原理”实际上是一种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种数学的思想方法。 在不断变式的问题中逐步将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，使学生在理解的同时，思维能力、情感态度与价值观、推理能力、抽象能力、模型思想、数学符号等数学核心素养得到进步和发展。

参考文献：

[1] 卢 江、杨 刚主编 义务教育教科书《教师教学用书》·数学（六年级下册）北京： 人民教育出版社 2014.10.

[2] 叶尧城、向鹤梅主编 全日制义务教育《数学课程标准教师读本》修订本 武汉：华中师范大学出版社 2003年.

[3]中华人民共和国教育部制定.《义务教育数学课程标准(2011年版)》 北京：北京师范大学出版社 2012.