初中数学思维方法探究

李玲

思维方法是思维的钥匙，有了科学的思维就能从总体上把握事物的本质联系。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。于是，在研究某些数学问题时，我们常常有意识地放大考察问题的视角,把将要解决的问题看作是一个整体,通过研究问题的整体形式,从而达到顺利而又简捷的解题目的。它就是我们经常应用的整体数学思想。整体数学思想是一种重要的数学观念,一些数学问题若拘泥于常规,则举步维艰；若从整体考虑则会“柳暗花明”、一举成功。下面结合实例谈谈整体思想方法在解题中的应用：

一、整体思想在代数式中的运用

例1(2010.金华中考)、如果a-3b=-3,那么代数式5-a+3b的值是()。

A、0B、2C、5D、8

分析:这个题目方法有两种,一是用b表示a为a=-3+3b,代入5-a+3b=8。

二是把a-3b看成一个整体,5-a+3b=5-(a-3b)=5+3=8，选D。

说明:对于这两种思路解题来说都是可以的,但是把a-3b看成一个整体使题目的计算更加简单。

例2(2010.大兴安岭中考)、代数式3x2-4x-5的值是7,则x2-x-5的值是______。

分析:3x2-4x-5=7,3x2-4x=12，则在等式两边同时除以3则得x2-x=4,从而可知x2-x-5=-1。

说明:对于这个题目的解法,如果只是想方设法求出x,需要解一个一元二次方程,如果按照这种思路很浪费时间,而想到整体思想方法,则会迎刃而解。

二、整体思想在因式分解中的运用

例3(2010.益阳中考)、已知x-1=3,则代数式(x+1)2-4(x+1)+4的值为______。

分析:(x+1)2-4(x+1)+4=(x+1-2)2=(x-1)2=(3)2=3

说明:解题时需要把(x+1)2-4(x+1)+4先进行因式分解,后把x-1看成一个整体,直接代入,会达到事半功倍的效果。

三、整体思想在方程组中的运用

说明:整体思想方法在方程组的应用,可以把复杂的题目简单化,既增加了解答问题的准确率,又可以节约时间。

四、整体思想在统计与概率中的运用

例6(2010.烟台)、如图所示的矩形纸片上随机作扎针实验,则针头扎在阴影区域的概率为______。

分析:连接矩形的对角线,把矩形分成面积相等的四部分,阴影部分的面积之和是矩形面积的四分之一,所以针头扎在阴影区域的概率为。

说明:如果单独考虑每一部分,这个题存在一定的难度,因此整体考虑,使问题变得明朗简单.

五、整体思想在空间与图形中的运用

例7、如图，在高2米坡角为30度的楼梯表面铺上地毯，地毯的长至少需要多少米？

分析：若先求铺在各级台阶上的地毯的长度，再求和，不知道每级台阶的宽度和高度。现在有很多含30°角的小直角三角形和楼梯的高度，大胆猜测，能否把这些小直角三角形转化成一个大的直角三角形。通过再思考后发现，利用平移的方法，从整体上考虑，各台阶的宽度之和等于AC的长，各台阶的高度之和等于BC的长，所以只需求出AC+BC的长度就确定了地毯的最小长度。

故连接AB，在Rt△ABC中，∠BAC=30°,BC=2,

∴AC==23

∴地毯的长度至少需要（23+2）米。

说明:如果单独考虑每一个小的三角形,会进入误区,因而如果进行整体考虑,则可以优化学生思维，整体思想在解题中的妙用，就能达到最优的解题思路。

例8、如图所示，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且它们的半径都是0.5cm,图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和是多少?

分析：这是鲁教版教材中的题目，许多学生读过题目后，有些摸不着头，但仔细一想，就发现了其中的奥妙：虽然不能求得每一个扇形圆心角的度数，但是不妨把三个扇形拼在一起，凑成一个整体，就发现有了答案。拼在一起是一个半圆，所以面积之和是π。当然，如果把三角形换成五边形甚至是正n边形，思路还是一样的。整体思想在数学中的应用，需要仔细去总结与归纳，只有这样才能进一步指导好教学，同时这也是近几年来中考考试的一个亮点。

例9、如图所示，⊙P内含于⊙O,⊙O的弦AB切⊙P于点C,且AB∥OP。若阴影部分的面积为9π,则弦AB的长为()。

A、3B、4C、6D、9

分析:连接PC、OA,过O作OF⊥AB,不妨设⊙O的半径为R,⊙P半径为r。

∵AB是⊙P的切线，∴PC⊥AB，∴OF∥PC；

∵AB∥OP，

∴四边形OFCP为矩形。

∴OF=r,∴AF2=R2-r2。

∵π(R2-r2)=9π,∴R2-r2=9，∴AF=3。

∵OF⊥AB，∴AB=2AF=6，∴选C。

说明:在这个题目中⊙O与⊙P的半径并不能直接求出,只能把R2-r2看成一个整体,从而达到解题的目的。

这些是我在教学中的一些体会，在实际教学中要注意数学思想与实际例题相结合，学生才会感觉到它的真正价值，才能在学习中运用自如。当然，整体思想在数学中的运用比比皆是，利用这种思想方法常常帮助我们走出“死胡同”、走向成功。