分解——组合——变式——例题讲解探析

谢鸿飞

《中国职教》于2008年第8期(总第34期)刊登了朱宝宏和陆荣林两位老师合作的《中职生数学课“一听就懂，不会解题”的原因分析与对策》一文，反复阅读后很有感触。这里不再去剖析教师的原因，也不再去剖析学生的原故，就朱老师和陆老师在“第二点：‘上课听得懂，就是不会解题’现象对策与建议，第5小点：教师要变教教材为用教材”中提出的问题，谈谈笔者的想法和做法，权作抛砖引玉。

众所周知，对口高考（成人高考）和就业考试有各自不同的要求，如何去做才能达到这两块各自的教学目的呢？朱老师和陆老师在摘要中第一句话就阐明：“数学的学习究竟如何最终反映在数学解题上”。为此，笔者认为主要问题是公式、定理等的应用，可作为区别这两块有效方法。通过对例题的分解、组合、变式训练，达到适应各自教学要求和目的。

本文拟借用以上所说教材第二册P.140例8“倍角公式”的应用，谈谈笔者所设计方案及想法和做法。

原题：已知sinα=，α∈（，π），求sin2α，cos2α,tan2α的值。

对于就业班的学生来说，由于他们的基础薄弱、应用能力差，第一步直接应用是他们的特点，所以我们采用降低起点的方法，将原题变式、分解后重新组合成一系列问题串。

变式一：（针对就业班而设计）

问题一：已知sinα=，α∈（0,），

1、你会求sin2α的值吗？

2、你认为求cos2α有几种方法？你最喜欢哪一种求解？

3、你认为求tan2α有几种方法？是否有最简洁的解法？

显然由于角α置于第一象限，不需要考虑符号问题，只需要直接运用公式进行运算，促使学生拾阶而上，初步掌握倍角公式的运用。在此基础上，我们将例题再次变式、分解，组合成一系列新的问题串，并提出与问题一可比较的相关问题。

问题二：已知sinα=，如果α∈（，π），

1、你还会求sin2α的值吗？与问题一中sin2α的值相等吗？为什么？

２、你求得cos2α的值与问题一中有变化吗？能说出道理吗？

３、你认为求tan2α最简洁的解法是否与问题一相同？

诚然问题二中的问题串与问题一中的问题串似乎有些重复，但是课堂上的反馈证实，符合学生的认知规律，衔接了学生的生长点，有效地将学生的应用意识得到延伸，达到了教材赋予我们最低的教学目标。

然而我们不可忽视另外的一点，在就业班中不凡有一些在数学方面具有擅长的学生，为了使他们不至于“饥饿”，我们有必要满足他们的求知欲望。为此仍可以通过变式，采用增设思考题的方法来实现这一部分学生的愿望。故我们补充了一道思考题留给他们课后讨论。

思考题：已知sinα=，求sin2α，cos2α,tan2α的值。

相对于对口高考（成人高考）的学生来说，他们除基础普遍较强外（仅次于普通高中学生），更重要的一点是他们的学习目的性比较明确，而且具有一定的自学能力。所以我们将例题分解后，作适度的整编、重新组合，一次性达到最低的教学目标。

变式二：(针对对口高考或成人高考班级而设计)

问题一：已知sinα=，如果α∈（，π），根据以下问题依次解答：

1、你会求sin2α的值吗？

２、你认为求cos2α有几种方法？你的解法最优吗？

３、你认为求tan2α有几种方法？是否有最简洁的解法？

这里首先需要说明一点，我们不可能完全排除学生不会出现符号的错误，课堂上的反馈也证实了这一点，而这正是学生在高考中容易出现的问题。教者的点拔不仅提示了符号问题，而且又为问题二作了铺垫。

问题二：已知sinα=，仍然根据以下问题依次解答：

１、你还会求sin2α的值吗？与问题一中的讨论有差异吗？为什么？

２、你求得cos2α的值与问题一中有变化吗？能说出你的道理吗？

３、你认为求tan2α最简洁的解法是否与问题一相同？

无论是对口高考试题，还是成人高考试题，一般都源于课本，有时会高于课本，这就是说将例题作适度的延伸是有必要的。然而相对于倍角公式来说，还需要向另一方面作变式训练。因此我们同样增设一道思考题留给学生课后讨论。

思考题：已知sinα=，＜α＜求sin4α，cos4α,tan4α的值。

我们始终认为，对于职业高中的学生来说，不论他们选择哪一个专业，都应该达到国家规定的最低教学要求，这是提高整个国民素质的任务。然而对于那些有志于参加对口高考（成人高考）的学生来说，为了满足他们的求知欲望，作为教师来说，有必要在课本的基础上作适度的提升，不给学生留下遗憾。