方程的根与函数的零点

艾中灿

摘要：函数与方程的理论是高中新课标中新增的知识点，高中阶段解决零点问题有三种方法：解方程法、零点存在判定定理、图像法。通过分析与讲解，掌握解决该类问题的技巧和方法，理解并体验函数与方程相互转化的数学思想，培养学生数形结合的能力。

关键词：解方程法零点存在判定定理图像法

高中阶段的函数零点问题主要涉及到以下四类：1.判断函数零点或方程根的个数；2.利用函数零点确定函数解析式；3.确定函数零点或方程根的取值范围；4.利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围。解决这些问题时，利用涉及到零点问题的三种等价关系：函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标方程f(x)＝0的实数根函数y＝f(x)的零点，运用函数与方程相互转化的数学思想，分别采用解方程法、零点存在判定定理及图像法，可以使问题得到有效的解决。

一、解方程法

零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。

解方程法：对于容易求根的基本初等函数零点问题，直接转化成对应方程的根并求解。

二、零点存在判定定理

函数零点存在判定定理：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c）=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

例3：若a＜b＜c则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（）。

A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内

虽然该函数对应方程为一元二次方程，但通过解方程法来确定其函数零点显然是行不通的，况且题目只需要寻找零点的取值范围，并不要求求出具体的值，因此根据函数零点存在判定定理，将选项中各区间端点值代入检验，得到f(a)=(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0，所以零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内。

零点存在判定定理：若函数图像在某区间上连续不断，要得到函数零点所在的大致区间，可以直接研究函数图像的单调性并判断极值及区间端点处函数值的符号得解。

三、图像法

三种等价关系：函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标方程f(x)＝0的实数根函数y＝f(x)的零点。

由于函数零点即为方程f(x)=0的根，因此可将其转化为判断函数f(x)的图像与x轴交点横坐标情况，也可转化为判断两个函数图像的交点问题。

例4：求函数f(x)=lgx-sinx的零点个数转化为函数y=lgx与y=sinx图像交点个数问题，因-1≤sinx≤1，而y=lgx图像在(0,+∞)为增函数且lg10=1，因此零点个数为3，此处学生容易因为作图的随意性导致错误答案。

图像法：牢牢抓住三个等价关系，将零点问题转化为图像与轴交点的横坐标，或根据其对应方程的根转化为两个初等基本函数交点的横坐标问题。

总之，函数零点问题虽然题目繁多，但只要能深刻理解函数零点定义、零点存在判定定理及三种等价关系，体会函数与方程相互转化的数学思想，从数(解方程)和形(图像法)两方面加以研究，平时解题时多加体会，合理使用解方程法、零点存在判定定理及图像法三种方法，任何复杂题目均可迎刃而解。