计数中克服“重复、遗漏”的法宝—区分异同

肖骑兵

在计数问题中常常出现“重复”和“遗漏”，主要原因在于对相关概念的理解不准确，尤其是两者间的异同认识模糊，导致处理问题时混为一团。在本模块的学习中要注重四对概念的理解，能准确地区分它们之间的异同。

1、分类原理与分步原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。“分类”表现为其中任何一类均可独立完成，各类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集。在分类处理中，分类不全面，就会出现“遗漏”。各类之间有交叉，就很容易出现“重复”。

分布原理强调各步骤缺一不可，必须把各步骤均完成，才能完成所给事件。在计数中，学生对所求事件缺乏整体分析，很易漏掉某些步骤，导致出现“遗漏”。

由此可见，两者有很大的差异性。在处理计数问题中，恰当的把握两者的异同，将两者有机地结合起来，是克服“重复、遗漏”的最佳的解题途径之一。往往先按元素的性质“分类”，再按事情发生的连续过程“分步”。

例.用6种不同的颜色给4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390种（用数字作答）．

2、排列数与组合数

计数问题中排列与组合的应用主要表现在排列数与组合数的应用，因此区分排列数与组合数的异同是解题的关键

组合数多了一步，将取出的m个元素按一定的顺序再进行排列。因此，在计数问题中选择排列数还是组合数，关键在于看取出的元素改变顺序时对事件是否有影响。在处理排列、组合综合题时，需要将两者有机结合起来，一般是先选再排（先组合再排列）。

例.位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（B）

A．48B．36C．24D．18

分析：由于4位同学的总分为0，所以分3种类型：①100+（－100）+90+（－90）②100+100+（－100）+（－100）

3、分步原理与排列

排列是分步乘法计数原理的特殊情形，它的特征有：选出的元素互不相同；每个位置对应的元素只有一个；选出的元素具有顺序性。而分步计数原理与排列相比具有更大的广泛性，具体表现在：分步选取元素时可以选一个或多个（每个位置可以对应多个元素）；选取的元素可以重复；选出的元素具有顺序性。可以看出，两者有很大的差异性，使用的范围大不相同，因此在处理带有顺序的计数问题时，要把握两者的特征，恰当选择排列数和分步原理。

例.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（B）

A．40种B．60种C．100种D．120种

分析：由于星期五有2人参加，这样不符合排列的特征，因此不能直接用排列数求解。但4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，显然元素具有顺序性，此题符合了分步原理的特征，因此应选择分步乘法原理求解。

4、分步原理与组合

分布原理与组合的差异主要在于有序与无序问题。从事件发生的整个过程来看，各步选取的元素之间有顺序，而组合选取的元素没有任何顺序。因此，在处理组合类型的题目时，如果需要分步选取元素，务必要注意是否会增加元素的顺序性。两者的相同点在于，用分步原理选取元素时，当一步选取2个或2个以上元素时，往往用组合数表示。

例.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有240种。

以上介绍了四种概念间的异同，它们之间不是彼此孤立的，而是相互依存的。在平时的学习中，需要充分地把握他们的异同，将它们有机地结合起来，对计数问题形成一种整体认识，避免出现不必要的“重复”和“遗漏”。