巧解圆锥曲线的最值

朱天辉

摘 要:本文探讨了利用圆锥曲线的性质来解决关于圆锥曲线动点的最值问题，通过利用圆锥曲线的定义和性质，运用对称、转换建立动点与定点或定直线的一些关系，并且三点共线解决了圆锥曲线上的动点的最值问题。

关键词: 圆锥曲线;动点；最值.

1 引言

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，也是高考的热点问题。圆锥曲线是用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥得到的截口曲线，它包括：椭圆、双曲线和抛物线。

研究圆锥曲线的几何特征和性质是高中数学的重要内容，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，感受数形结合的基本思想。圆锥曲线上的动点的最值问题是高考的一个重点，同时也是学生的一个难点问题。

本文将探讨圆锥曲线上的动点的最值问题，通过对称、转换建立动点与定点或定直线的一些关系，并且三点共线解决了圆锥曲线上的动点的最值问题。

2 求圆锥曲线上的动点的最值

解决数学问题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

通过利用圆锥曲线的性质，将问题进行等量代换，把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，变为熟悉的形式，使得问题变得简单，下面我们通过利用圆锥曲线的性质来解决几类圆锥曲线的最值问题。

2．1 求抛物线上的动点的最值

抛物线是高中数学的重要内容之一，是将动点到定点的距离与到定直线距离相互转化的主要方法，是培养学生等量代换思想方法的重要载体。

下面，我们将利用到定点的距离与到定直线的距离转换求抛物线上动点的最值。

例1：已知点 是抛物线 上一动点,定点 , 点 到 轴的距离为 ，求 的最小值。

析：本题考查抛物线上动点到定点的距离与到定直线的距离和的最小值问题，点 到 轴的距离为 , ,因此，若用传统法直接求 的最小值，要先通过换元，构建函数，再求含根式的最值，计算量会特别大，运算过程特别繁杂，若利用抛物线的性质通过等量代换来解决这个问题将变得简单，下面将利用等量代换来解决这个问题。

解：依题意有：抛物线 的焦点 ,准线方程为 ,

所以， ,故， -1.

的最小值为 -1.

评：利用抛物线的性质通过等量代换可以简单、快速的解决抛物线上动点的最值问题。

2.2求椭圆上的动点的最值

例2：已知点 是椭圆 上一动点, 分别为椭圆的左右焦点，定点 , 求 的最大值。

析：本题考查椭圆上动点到定点的距离与到左焦点的距离和的最值问题， , 因此，若用传统法直接求 的最大值,要先通过换元，联立方程组，构建函数，再求含根式的最值，计算量会特别大，运算过程特别繁杂，若利用椭圆的性质通过等量代换来解决这个问题将变得简单，下面将利用等量代换来解决这个问题。

解：依题意有，椭圆 中，由 ，则 ,

所以， ，

的最大值为

评：利用椭圆的性质通过等量代换减少了复杂的的计算过程，将它转化成学生熟悉的两点间的距离问题，简化了计算，提高了效率。

2.3求双曲线上的动点的最值

例3：已知点 是双曲线 右支上一动点, 分别为椭圆的左右焦点，定点 , 求 的最小值。

析：本题考查上双曲线上的动点到定点的距离与到左焦点的距离和的最值问题，若直接求解，计算量会很大，容易出错，下面将利用等量代换来解决这个问题。

解：依题意有，双曲线 中，由点 右支上一动点 ，则 ,

所以， ，

的最小值为

评：利用 的性质通过等量代换减少了复杂的计算过程，将它转化成学生熟悉的两点间的距离问题，简化了计算，提高了效率。

4.小结

本文主要讨论了圆锥曲线动点的最值问题，通过利用圆锥曲线的定义和性质，运用对称、转换建立动点与定点或定直线的一些关系，并且三点共线解决了椭圆、双曲线抛物线上的动点的最值问题，利用圆锥曲线的定义和性质将问题化繁为简、化难为易、简化问题的作用，将原本复杂的问题变得简单，有利于运算，容易求解。

总之，在高中数学的教学中，充分运用圆锥曲线的定义和性质，不但可以强化学生的化归与转化的思想，又可以使某些问题得到简化，还可以使表面看起来没有关系的知识统一起来。

参考文献

[1]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社,2001.

[2]]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书：数学选修1-1[M].北京：人民教育出版社,2005.

[3] 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书：数学必修四[M].北京：人民教育出版社,2004.

联系人：朱天辉

工作单位：惠阳中山中学

联系地址：广东省惠州市惠阳区淡水镇惠阳中山中学

联系电话：[phone]

邮政编码：516211