让“数”与“形”融为一体

王礼英

摘要：本文运用一些例子来说明数形结合思想方法在解决小学数学问题中的渗透：一是将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象，直观地揭示出来，以达到“形帮数”的目的；二是运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。

关键词：小学数学 教学 数形结合

数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。“数”属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；“形”属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物，数形结合使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。

在小学阶段，小学生的思维正是以具体形象思维为主逐步向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段。学生理解和掌握概念，性质，求积公式，形成空间观念，都是从大量具体的，形象的感性材料开始的。利用数形结合的思想，可以帮助学生建立空间观念，帮学生理解题意，寻找解题方法。数形结合是一个重要的数学方法，是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，即通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图等图形来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观，同时也是人们存在大脑中的两种基本思维形式。在数学思维过程中，逻辑思维是核心，形象思维是先导，但具体的数学思维过程往往是两者交叉运用、浓缩升华的过程。这就要求我们重视数形结合的数学思想方法，让学生的逻辑思维和形象思维水平得到提高。

所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数想形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。数和形的内在联系，不仅使几何学获得了有力的代数化工具，同时也使许多代数学和数学分析的课题具有鲜明的直观性，进一步开拓出新的研究方向。 数形结合思想的实质即：一通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题；二把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。

由此可见，在小学数学教学中把抽象的数学数字和形象的教具学具等相结合，渗透数形结合方法的重要性。数形结合在数学发展中的重要意义，正如法国数学家拉格朗日（Lagrange,1736─1813）在《数学概要》一书中所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”这里仅从数形结合的两个本质属性阐述如下：

一、由数想形

所谓由数想形即利用数的计算来揭示几何形体的特征及它们之间的内在联系。根据数学问题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征，规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系。在小学数学教学过程中对于不同的问题，可将数量关系转化为不同的图形。其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。

例1：讲数字3时，用3根小棒摆成三角形，讲4时，用4根小棒摆成正方形。这样处理，既有利于学生通过直观实物抽象出数字3和4，也有利于学生初步认识这些图形的某一特征（如三角形有三条边，正方形有四条边）。 通过数形结合探索规律可以培养学生抽象概括的能力，发展思维的创造性。出题目时要注意多层次，以便于区分学生的不同思维水平。

例2：（l）照下图的样子用小棒连着摆正方形。

□□ 摆2个用（ ）根

□□□ 摆3个用（ ）根

□□□□ 摆4个用（ ）根

（2）连着摆6个正方形，要用（ ）根小棒，写出算式。

（3）如果不数小棒，你能找出一般的计算公式吗？

此题有3个层次，第1小题是通过直观进行计算，第2小题离开直观进行计算，第3小题脱离具体计算概括公式。实验表明，学生的答案呈现不同的思维水平。例如，有的学生第2小题就做错了，有的学生第2题虽然做对，但不会在此基础上概括出一般计算公式。

例3： 一位教师出了这样一个题目：“某车间用一块长90分米、宽60分米的铁皮剪成半径是10分米的圆形铁片，该怎样下料才能使铁皮的利用率最高？”

结果多数学生列成下式：90×60÷（3.14×10²）≈17个；部分学生通过画图（左下图）得到答案是12个；还有一部分学生通过操作（如右下图）

得到答案是13个。通过讨论，学生认识到最后一种方法利用率高，而第一种计算方法是脱离了实际。通过这样的问题使学生初步体会到在解决实际问题时绝不能生搬硬套所学的计算知识，还要注意对实际问题进行具体分析。

二、见形思数

“见形思数” 的核心是将形的变化抽象为数学符号。某些有关几何图形性质的问题，可转化为数量关系的问题，借助代数运算、三角运算或向量运算，常可化难为易，获得简单易行的解题方案。

例如，等底等高的各种三角形，经过计算之后，发现它们的面积总是相等的，这就揭示了这些三角形之间的联系；再如长方形的特征是对边相等，四个角是直角，也是通过学生量一量，算一算等活动揭示出来的；又如，平行四边形的面积公式是根据长方形的面积公式推倒出来的。教学时可分三步走，首先教学生用数方格的方法来学习求平行四边形的面积。接着引导学生操作，运用割补，平移的方法，把一个平行四边形转化为一个与它面积相等的长方形。然后通过观察思考分析推理，让学生找出长方形的长和宽与原平行四边形的底和高的关系，从而推导出平行四边形的面积计算公式。通过平移转化的方法把新知识转化为旧知识，以旧引新，使学生既学会了新知识又复习了旧知识。

众所周知，小学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。

例4：中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几(少几)”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，设计了下面的图形：

结合图形，让学生说，有6个□，△的个数比□的3倍还多4个；也可以说，有6个□，△的个数比□的4倍少2个；

接着，出示下面的问题：

□有6个，△比□的3倍多4个，△有多少个？算式：6×3+4=22个

□有6个，△比□的4倍少2个，△有多少个？算式：6×4-2=22个

比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上倍相差的数。教学时不妨把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生更容易理解，学生的思维也更灵活。如自编应用题时，有的学生编了：“皮球的个数比足球的4倍少3个，也就是比足球的3倍多2个，皮球有多少个？”这题编得富有创造性，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。

有些教师在教学过程中教给学生区分题目类型，运用解题公式，结果给学生增加了学习难度，出现死记硬套的现象。教学数学知识不宜交给抽象类型、公式，而应结合操作、直观，使学生掌握分析和解答题目的方法。解题经验告诉我们，当寻找解题思路发生困难时，不妨从数形结合的观点去探索；当解题过程的复杂运算使人望而生畏时，不妨从数形结合的观点去开拓新路；当需要检验结论正确时，不妨从数形结合的观点去验证，它常会给我们带来满意的效果。

数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。人们总是充分运用数形结合，数形转化的方法解决各种数学问题。

华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。” 由此可见，数形结合思想在数学中的重要地位，它是数学思想方法的核心。所以教师要在教学中及时渗透数形结合的思想方法，帮助孩子形成初步数概念要借助各种直观教具；要为孩子提供操作、游戏用的材料和玩具；让孩子通过感官，饶有兴趣地在操作中获得丰富的感性经验，从而形成初步抽象数概念。在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的，高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养，智力的开发，能力的增强，使教学收到事半功倍之效。

参考文献

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