对高中数学解析几何中对称问题浅析

蔡雪慧

摘要：伴随着人们对教育的越来越重视，教育行业也开始了飞速的发展。在这种背景影响下，高中数学中的解析几何对称问题逐渐受到了高中数学教师的重视。众所周知，对称问题是高中数学解析集合中的基础部分。不管是点对点间的对称还是线对线间的对称，都是高中学生学习数学的重要内容。本文主要针对目前的高中数学解析几何中的对称问题进行了探究，希望能为高中阶段的数学教育提供帮助。

关键词：高中数学；解析几何；对称问题

随着新课改的逐渐实行，我国的教育事业也在持续不断地发展。数学是一门贯穿于学生整个教育生涯的学科，其重要性不言而喻。而高中数学无论是从高考占比上还是知识面上都是非常重要的。高中数学相较于基础数学而言具有了一定的难度。尤其是高中数学解析几何部分的对称问题，不仅是整个高中数学中的基础部分，也是一大重点内容。

一、解析几何的基本概念

几何是高中数学学习过程中非常重要的一部分内容。几何原本叫欧几里得几何，由著名数学家欧几里得命名，简称为“欧氏几何”。是整个几何学部分的一个分支学科。其最早来源于公元前3世纪。由古希腊数学家欧几里得总结得出。欧几里得将一些流传于民间的几何知识点进行总结和编撰，同时还做出了一系列的延伸推理，最后写出了文明一时的《几何原本》，后又逐渐形成了欧氏几何^[1]。在整个欧氏几何的体系中，最主要的内容当属平行公理。但是后期由于一部分不同公理的出现，导致了非欧几何的出现。如果按照图形的平面与空间来划分，可以称之为“平面几何”和“立体几何”。而对于解析几何，其核心部分其实是笛卡尔坐标系。解析几何也主要分为两部分，平面解析几何和立体解析几何。平面解析几何主要是通过平面直角坐标系来展现的，主要就是通过平面直角坐标系来建立点和实数之间的对应关系，以及曲线和方程之间的对应关系。通过几何法去解决代数问题，同时也可以应用代数法去解决几何问题。从17世纪开始，各个先进技术开始了飞速的发展，几何与代数也开始了不断地发展。这一过程就直接促进了解析几何的出现。在解析几何出现之后，就以非常迅猛的速度应用于数学领域的各个行业中了。到目前为止，解析几何已经发展为了高中数学中最为重要的内容。在目前的高中数学中，对解析几何的考查主要分为以下几部分：直线、圆、椭圆、抛物线以及双曲线的定义，另外还包括以上图形的标准方程和简单的几何性质^[2]。其中直线与圆，以及直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中非常重要的一部分，而本文所要重点探究的解析几何中的对称问题就属于这一部分。

二、高中数学解析几何中的对称问题

（一）点与点之间的对称问题

对于高中数学解析几何中的对称问题而言，对于点之间的对称问题就是最为常见的一种对称问题，同时这也是一种最基础最简单的对称问题^[3]。关于原点对称的问题，我们一般可以通过坐标系可以得出答案，而一些一般的点对称问题我们则需要借助中点公式来解出所求对称点的坐标。具体例题如下所示：

例一：假设点A的坐标为（2，4)，求出点A关于点O（一l，2）对称的点B的坐标

分析：由坐标可知点O不是原点坐标不是坐标原点，所以想要求出点B的坐标就必须要借助中点公式

解：假设点B的坐标为（x，y)，因为点A的坐标为（2，4)，点O的坐标为（一1，2)，那么由中点公式可知，点B的坐标为（一4，0)。

（二）直线与点之间的对称问题

在高中数学解析几何中直线与点的对称问题一般也可以将其转化为点与点之间的对称问题来进行解决。在解决这一类问题时，首先需要从相应直线上选取两个合适的点，然后再根据这两点的坐标来求出两点构成的直线对应的直线方程。在后续的解决问题过程中，我们可以发现，其实在解决直线与点的对称问题中的对称直线与原直线之间是处于平行的状态。基于此，我们在面对这类问题时，首先就可以设立出平行直线系，其次再将其中一个对称点的坐标带入其中即可。具体例题如下所示：

例二：求出直线方程为2x-3y+1=0的直线L1关于坐标为（一1，一2）的点X对称的直线L对应的方程式

方法一 ：先在直线L1中随机确定两个点，然后再求出这两点在直线L2上的对称点，然后再根据这两个对称点来确定出直线L2的方程式。

解：在直线L2上随机选取两点M和N，其中点M的坐标为（1，1)，而点N的坐标为（4，3)，由此可知，点M与点N关于点X的对称点M’和N’都在直线L2上。

由此可以算出，点M’的坐标为（一3，一5)，而点N’的坐标则为（一6，一7)，通过点M’和点N’的坐标再结合两点式就可以得出直线L2的方程式为 2z一3y一9=O。

3. 点与直线的对称问题

在面对高中数学的解析几何对称问题时，当我们遇到从坐标轴中寻找对称点这一问题时，我们会很轻易地观察出对称点的坐标

^[4]。对点与特殊直线y=x的对称点也很容易观察到。但是，如果学生面对的是一般的点与直线的对称问题时就需要进行详细地计算。当我们遇到以下这一类问题时：假设点A的坐标为（x0，y0），且已知直线方程不是坐标轴直线，其方程为y=kx+b，那么求出点A关于已知直线的坐标。解决这样的问题我们必须要抓住两个重点来进行解决，首先第一个重点是两点所在的直线和已知直线是一种互相平行的关系；第二个重点是已知两点的重点恰好位于已知直线上。

例三：直线 l1 关于某一点 M（x0 ，y0）的对称直线L2 。它的求法 分两种情况：1、当 M（x0，y0）在L1上时，它的对称直线为过 M 点的任一条直线。2、当 M 点不在 L1 上时，对称直线的求法为：（三）：由 KL1＝KL2，可设 L1 ：Ax +By +C＝0 关于点M（x0 ，y0）的对称直线为Ax +By +C＇＝0 且 求设 C＇从而可求得对称直线方程。

3. 直线与直线之间的对称问题

在高中解析几何部分的对称问题学习中，我们就经常会遇到直线与直线之间的对称问题，在解决这一类问题时，首先需要明白的一点就是，其实直线与直线之间的对称问题其实是以点与直线的对称问题为基础的。两类问题的解决方式是非常相似的。唯一的区别就是，在解决直线与直线之间的对称问题时需要注意一点就是两条直线的位置关系并不是固定的，他们有两种不同的可能，一种是平行，另一种是相交。如果两直线之间的位置关系是平行，那么就需要设出相应的平行直线系方程，然后再根据两条平行直线之间的距离来确定出相应的直线方程；而两条直线的位置关系如果是相交的那么就会有很多不同的解析方法。比如：特殊值法，或者交点法，以及动点代入法等。但是，在日常的解答过程中，学生往往都为了解题过程的简便而采用交点法。

例四：求直线m:3x-2y-6=O关于直线L2:2x-3y+1=0的对称直线L2的方程。

分析：线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决。

解：在直线m上任取一点，如M(2，0),则M关于L1的对称点M’一定在L2上，设对称点M’（a，b）

得M’( , )

设m与L1的交点为N，由 得N（4,3）

又L2过N点，由两点式可得直线L2的方程为9x-46y+102=0

3. 结束语

总之，解析几何是高中数学中非常重要的一部分，而对称问题又是解析几何中非常重要的一部分。学生在进行解析几何中的对称问题学习时，首次按应该从“对称”这两个字的定义开始学起。然后在此基础上对解析几何中所社涉及到的挂与对称问题的知识点进行进一步的熟悉和掌握。

参考文献：

[1]孙继云.关于平面解析几何中的对称问题[J].理科考试研究（高中版）,2016,23(12):21-22.

[2]杨佳璇.“换元、对称、联想”思想方法在高中二次函数解题中的运用[J].科学大众（科学教育）,2017,(1):31.

[3]许兴震,王雷,刘勤.直线与圆锥曲线的位置关系[J].中学数学教学参考,2016,(1):112-115,122.

[4]张剑洪.浅谈三角恒等变形的策略与方法[J].都市家教（下半月）,2016,(6):271-271,272.