旋转性质应用的七个题型分析

何志

[摘要]旋转是常见的几何变换，学生在解题时往往抓不住突破口，究其原因是对旋转所蕴含的信息把握不够。作者通过七个题型，展示旋转的题型特点，为学生解题找到思路。

[关键词]旋转 性质 题型 转化

学生在解决平面几何问题时，作辅助线常常无从下手，若应用旋转变换的思维更容易找到作辅助线的突破口。特别是当题目涉及到等腰三角形、等边三角形、正方形等问题时，通常将图形进行旋转变换作图，将分散的元素集中或将有关条件联系起来构造图形解决有关线段、角、面积等问题，这样能更快更容易解决问题。所以旋转变换在解析几何中扮演着一个很重要的角色，甚至起着不可替代的作用。今天我们以下面这几种题型为例，归纳一下旋转的几种常考题型及其做法分类，希望能给学生的学习助力。

题型一；用性质求角度

1．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB₁C₁，若点B₁在线段BC的延长线上，则∠BB₁C₁的大小为（　　）

A．70° B．80° C．84° D．86°

题型二：用性质求长度

2．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

题 型三：用旋转性质求面积

3. 如图，在正方形ABCD中，AD=2 ，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为　 　．

做题方法小结：题型一、题型二、题型三是一类做法，要利用旋转形成的等腰三角形，去得到角之间的关系，另外有60°的特殊角度时，想到等边三角形。

题型四：用旋转性质求坐标

4．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB= ，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A₁B₁O，则点A₁坐标为　 　．

做题方法小结：此类题算作数形结合，用坐标推长度，用长度推坐标。

题型五：用旋转性质求线段和的最小值

5，如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．求AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

做题方法小结：线段和最小值，落脚点还是两点之间线段最短。所以应当通过旋转将三条线段首尾相连，此题即求出ED的值，就是最小值了。

题型六：用旋转性质求分散的边之间的数量关系

6，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．

若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N，求证：EF²=ME²+NF²

做题方法小结：EF²=ME²+NF²．这个数量关系一看便是直角三角形三边的关系。可以通过旋转，将这三条边，或者与这三条边相等的边，放在一个直角三角形中去，从而得证。这也是旋转性质的应用。

题型七：用旋转性质求特殊角度（150°，135°）

7．如图，在等边三角形ABC内有一点P，PA=10，PB=8，PC=6，求∠BPC的度数

做题方法小结：从数据来看，6、8、10是一组常见的勾股数。应当想到将这三个边放到一个直角三角形中去，而目前三条边是发散的，可以用旋转的方法，将三边改变位置，进行等量代换，从而达到目的。

旋转变换思想在几何中有着广泛的应用，这种数学思想体现了思维的多向性。在学习旋转变换时，不仅要熟悉其定义，还要熟悉其性质：旋转前后的图形全等。从以上例子可以看出，运用旋转变换，有时可以很方便地解决某些几何问题，特别是涉及到等腰三角形、正三角形和正方形等一类问题的求解。应用旋转变换从而使图形中的边角关系更加清楚，图形简明，所以旋转变换容易被学生接受，体会到添辅助线是有规律可循，能够大大地简化题的难度。