由2020年青岛一模题目例谈面积最值问题

田巍

在今年的青岛高三一模试题中，解析几何题目最后一问求面积比值的最值，让笔者想到16年似曾相识的山东卷高考题。本文，以新旧两个题目作为切入例题，谈一谈面积最值问题的解题策略和其中的计算技巧。

一、例题呈现

例题1（2020青岛一模T21）已知O为坐标原点，椭圆C: 的左，右焦点分别为点F₁ ,F₂且F₂又恰为抛物线D: 的焦点，以F₁ F₂为直径的圆与椭圆仅有两个公共点.

1. 求椭圆C的标准方程；

2. 若直线 与D相交于A,B两点，记点A,B到直线 的距离分别为d₁,d₂,|AB|=d₁+d_2。直线 与C相交于E,F两点，记△OAB,△OEF的面积分别为S₁,S_2。

（i）证明：△EFF₁的周长为定值；

（ii）求 的最大值.

解：（1）因为F₂为抛物线D: 的焦点，故F₂（1，0），即c=1

又∵以F₁ F₂为直径的圆与椭圆仅有两个公共点，即b=c

∵椭圆中 故

∴椭圆C:

(2)(i)由已知得 为抛物线D的准线

由抛物线定义得|AB|=d₁+d₂=|AF₂|+|BF₂|

又∵|AB| |AF₂|+|BF₂|，当且仅当A,B,F₂三点共线时成立

∴直线 过定点F₂

由椭圆定义得：

(ii)若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为x=1

∵|AB|=4,|EF|= ,所以

若直线 的斜率存在，则可设直线 ： ,设

联立 消y得，

由韦达定理得，

设 ，

联立 消y得：

由韦达定理得，

∴

∴

综上， 的最大值为

例 题2(2016年山东理T21)平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1 的离心率是 ,抛物线E:x²=2y的焦点F是C的一个顶点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处

的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,

直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

①求证:点M在定直线上;

②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S₁,△PDM的面积为S₂,求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.

分析：(1)由抛物线E:x²=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b= ,再由离心率可求a.

(2)设出P点坐标,表示出直线l的方程,与椭圆方程联立,可求D点坐标,表示出直线OD的方程,进而可求M点纵坐标,①得以解决;结合三角形相似和基本不等式可解决②.

【解析】(1)由题意F点的坐标为 ,所以b= ,又e= ,

所以 ,易得a²=4b²=1,于是椭圆C的方程为x²+4y²=1.

2. ①设P(2t,2t²) ,则直线l的斜率k_l=2t,

直线l的方程为:y-2t²=2t(x-2t),

即y=2tx-2t²,将其与x²+4y²=1联立得, x²-32t³x+16t⁴-1=0,

则x₁+x₂= ,y₁+y₂=2t(x₁+x₂)-4t²= .

所以D ,所以k_OD=- ,可得直线OD的方程为:y=- ,

由题意,x_M=2t,所以y_M= ,所以点M在定直线y=- 上.

②由图可知,|OG|=2t²,|FG|=2t²+ ,

所以S₁= ,S_△DOG= .

显然,△DPM与△DGO相似,所以

S₂= .

∴

当且仅当8t²+2=16t²+1,即t= 时,取等号.所以 的最大值为 ,取得最大值时点P的坐标为 .

二、面积最值问题的处理策略：

1. 对于三角形的处理主要分为动三角形和定三角形。

1-1：动三角形

如图所示，点P是椭圆内的一定点，直线l与椭圆相交于点A和B，则△ABP的面积模型可以采用如下构建方式．将其视为以交点弦AB为底、 以点P 为顶点的三角形，过点P作

AB的垂线，垂足为点H， 则PH就为底AB上的高， 所以△ABP

的面积可以表示为S △ABP =|AB|，

其中 AB 可视为椭圆内的弦， PH 为顶点P到直线AB的距离，记为

设直线AB的方程为y=kx+m， 因此根据相关知识有：

①弦长公式：

②点到直线距离公式 .

例3.设椭圆E的标准方程为 ，直线l的斜率为k，经过点（0，-2），且与椭圆相交于点A和B，试求△OAB面积的最大值．

解：设交点A（x₁,x₂）,B（y₁,y₂）由已知得直线斜率肯定存在，

设直线l的方程为y=kx-2,联立直线和椭圆方程得： 由韦达定理得

将△OAB 视为以点O 为顶点、以线段AB为底的三角形． 设点O到直线AB的距离为d， 则三角形的面积可以表示为

∵ ，

1-2：定三角形

对于△ADE，我们可以采用前者的割补方式：

对于△ADE，我们可以采用后者的割补方式：

特别的如下图，过点P的直线l与椭圆E 有两个交点A 和B， 点Q为x轴上的一个定点，连接AQ和BQ， 构建△ABQ． 基于上述面积模型， 可以将其面积表示

为 同理若点P和Q为y轴上的定点，

则其面积可以表示为

利用该模型解题时只需要确定定长，线段PQ以及点A和B的坐标即可． 考虑到点A和B均位于曲线上，则可以考虑采用方程联立的方式，结合韦达定理来等.

例题4.已知椭圆E的标准方程为 ，直线l与椭圆E相交于点A和B，而以AB为直径的圆经过椭圆的右焦点C， 试求△ABC面积的最大值．

解析：分析可知直线 的斜率必然存在，可以将其设为

设交点A（x₁,x₂）,B（y₁,y₂）

联立椭圆E 和直线l 的方程， 可得

由韦达定理得：

∵以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，则 代入坐标可确定直线AB必然过定点 则可使用上述三角形模 型，即求△ABC的面积可以表示为： 分析可 确 定 的 最 大 值 为

2. 对于四边形的处理主要是面积分割

5. 已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过 的直线

交椭圆于B、D两点，过 的直线交椭圆于A、C两点，且 ，

垂足为P，求四边形ABCD的面积的最小值。

解析：1°当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，

代入椭圆方程 ，并化简得 ．

设 ， ，则由韦达定理得：

，

；

∵ 与 相交于点 ，且 的斜率为 ，

∴ ．

∵ ，即

∴ ．

当 时，上式取等号．

2°当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 ．

综上，四边形 的面积的最小值为 ．

3. 弦长或面积表达后的运算技巧：

1、运用基本不等式

2、运用导数

3、还原成二次函数

示例1： 齐次分式我们可以进行如下处理：

示例2： 我们可以进行如下处理：

令 ，然后利用导数。

示例3： 我们可以进行如下处理：

令 ，则 ，然后利用二次函数

四、篇后语

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化

3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

4、面积最值问题主要考查设而不求思想，韦达定理，弦长公式，综合性大，对数学中的函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想和等价转化思想都有所考查。