巧用极限法对初中物理试题解析

吴国阳

引文：初中物理教学是十分重视物理思维培养的。它实质上反映了教学目标中的“能力目标”。如何在物理教学中培养解决问题的能力以及如何将物理知识应用到生活中，对于判断素质教育及其有效性是否达到标准。初中物理中有许多动态类型的类型，教师应积极引导学生以打破思维定式，利用极限思维来解决物理问题，提高学习效率。

关键词：初中物理;极限思维;具体应用

一、极限法的相关概念

一些物理问题涉及许多因素和复杂的过程。在改变运动的物理状态的过程中，它经常达到一定的状态（临界状态），并且相关的物理量将经历突然的变化。该状态称为临界状态，但是此时存在临界值。对于我们来说，通常很难感知变化规律并做出快速准确的判断。但是，如果我们在极端条件下分析问题，有时问题突然变得清晰而简单。例如，将问题从一般状态推送到特殊状态以进行分析和处理的问题解决方法是“极限方法”。极限方法的本质是将物理过程的变化推到极致，使结果显而易见，从而实现对问题的快速判断，并且不能代替对物理过程定律的研究，这只是一种手段。

如果存在诸如“最大，最小，至少，确切地满足什么条件”之类的词，而其他词出现在问题中，则它们通常处于临界状态。您可以将临界条件值用作解决问题的起点，尝试找到临界值，然后分析和讨论结果。这种方法是一种非常有用的思维方式。关键是要把握要满足的关键条件，并准确地分析物理过程。当一个人在下雨时从A步行到B时，是乌龟速度还是雨快？实际上，如果我们稍微使用极限思维，问题就会得到解答。乌龟速度限制为0，人类速度为0，这表示人员在雨中是湿的。快速限制为7.9km/s，人的速度为第一宇宙速度，这表示人在雨中几乎是干的。这是对极限方法的很好的解释。

极限法对学生来说相对陌生，因为在初中物理教学中很少提到极限，但是在中学阶段，极限法经常用于解决动态问题。对于学生而言，在使用其他数学方法的过程中知识范围相对较大，应用范围也相对较高，而且，学生会错误地认为极限方法纯粹是一种数学方法，而忽略了其物理思想。极限法是中学物理教学中很难掌握的一种方法，因为它经常同时使用数学和物理知识。极限法不仅是一种方法和技巧，它也是一种物理思维，它无限地划分物理实体或物理过程。只有掌握物理和逻辑极限定律，我们才能掌握极限定律的本质。这样，将难以处理的复杂的变更问题解决为易于处理的问题。

二、极限法在速度中的运用

一条小艇从上游点A到达点B，然后以速度V_1，河流速度为V_2，回到点A花费了t₁。如果河水静止，船将仍然使用速度V₁从A点到达B点，然后回到A点。是t₂，t₁和t₂之间的关系是：（ ）

Ａ.t₁2 Ｂ.t₁>t₂

Ｃ.t₁＝t₂ Ｄ.无法判断

常规解题： t₁=s/(V₁+V₂)+s/(V₁-V₂)

t₂=s/V₁+s/V₁=2s/V₁

若使用极限法，此时可假设V₁与V₂相同，由题知船逆水向上时速度为0，会一直向上进行运动，所以可得t ₁2

3. 极限法在密度中的运用

由下图表示，水中漂浮的木块密度是均匀的，此时，若沿着虚线将下部切除，剩下的部分会怎么变化？

A.上浮一些 B.静止不动

C.下沉一些 D.无法确定

分析：该问题的常规解决方案是：将木块浮在水面上，将其下部沿虚线切掉后，浮子的其余部分取决于浮力和重力之间的关系。根据原始的漂浮状态，可以再次分析沉入水中的木块的受力情况，可以再次分析木块下沉体积与总体积的比率。

当沿着虚线将下部切除时，木块最开始会在水面上漂浮，浮力的作用力等于重力，则ρ_木头.V.g=ρ_水.V_浸入.g，可以得出：浸在水中的木块体积V_浸入与全部木块体积V之比。V_浸入/V=ρ_木头/ρ_水，木块和水的密度不变，因此浸入水中的木块体积与总体积之比不变，因此切除的部分和其余部分会下沉一点，因此ABD是错误的，而C是正确的。

如果通过极限方法分析问题，则解决起来会容易得多。问题的意思是沿图中的虚线切除，然后我们也可能要切除更多并切除水面以下的所有部分，因为剩余的木块密度不会改变，所以还在漂浮。由于它是漂浮的，因此必须将其一部分浸入水中。因此，木块切除后会下沉一点，因此选择C。

3. 极限法在杠杆中的运用

（一）由下图表示，杠杆正处在平衡的状态，若此时将A和B向靠近O点的方向同时移动相同的距离，此时以下判断是正确的（ ）

A．杠杆仍能平衡 B．杠杆不能平衡，左端下沉

C．杠杆不能平衡，右端下沉 D．无法确定

常规法解题：

∵最初杠杆在水平位置处于相对平衡状态，

∴此时，作用在杠杆上的力的大小等于物体A和B的重力，

并且相应的力臂分别为OA和OB，如图所示。根据杠杆的平衡条件，可获得：mAgOA = mBgOB，

∵OA

∴m_A>m_B,

假设对象到支点的移动距离与L相同，则左侧力矩为：mAg（OA-△L）= mAgOA-mAg△L，

右边的扭矩为：mBg（OB-△L）= mBgOB-mBg△L，

∵ m_A>m_B，

∴ m_Ag△L>m_Bg△L；

∴ m_AgOA-m_Ag△LBgOB-m_Bg△L。

∴操纵的杠杆杆将向悬挂物体B的右端倾斜

故此题选 C。

极限法解决问题：从图中可以看出，OA

（2）如图所示，在探索杠杆平衡状态的实验中，此时杠杆处于平衡状态。如果在杠杆两端卸下了一个钩码，请尝试判断杠杆的状态。

分析：常规问题解决方法使用杠杆平衡条件F₁×L₁ = F₂×L₂，该条件是计算杠杆两端的F和L的乘积，然后进行乘积比较。如果乘积相等，杠杆保持平衡。如果乘积不相同时，则杠杆会以更大乘积得数的末端向力的方向旋转。显然，解决问题比较麻烦。如果使用极限方法，则它会更简单，更快。在这个问题中，已知在杆的两端取下一个钩码，即在杆的两端取下相同的钩码。您可以进一步向极限方向扩大条件，就是说，如果在杠杆的两端都卸下了两个钩子，或者在杠杆的两端都卸下了相同的钩子，则杠杆的最终状态显而易见，不会改变平衡状态。

在上面的示例中，如果两端的钩码向内移动一个单位长度，请尝试判断杠杆的状态。例行问题解决与前面的示例相同。如果使用极限方法，则它会更简单，更快。在这个问题中，已知两端的钩码向内移动一个单位长度，即，两端的钩码向内移动相同的距离。您可以进一步向极限方向扩大条件。即，在杠杆的右端的钩码移动到杠杆的支点，而在左端的钩码同时移动到相应的位置。

3. 极限法在压强中的运用

（一）圆柱形容器内分别盛有A、B、C三种液体，它们对容器底部的压力相同。现在，从三个容器中抽取了相同深度的液体，容器底部剩余液体的压力pA，pB和pC之间的关系为（）

A． p_A > p_B > p_C B． p_A = p_B= p_C

C． p_A < p_B < p_C D． p_A= p_B > p_C

常规法解题：

从图中可以看出，三个容器中液体的深度的大小为：hA> hB> hC，

∵p =ρgh，并且在容器底部的三个容器中的液体压力相等，

∴三液体的密度关系为：ρ_A<ρ_B<ρ_C ；

∵要抽出相同深度的液体，

∴抽出液体后减小的压强为：p_A抽

B抽

C抽 ；

又∵原来它们对容器底部的压强相等，

∴容器底部剩余液体的压力关系为：pA> pB> pC。

故此题选 A。

极限法解题：如果通过极限方法分析问题，则解决方案要简单得多。首先，我们必须找到问题的关键条件，即“泵出相同深度的液体”，然后我们可能必须泵出更多的液体，所提取液体的深度与深度相同。在C液中，可以看到，在抽出C液之后，剩余的液体紧靠容器。底部压力pC最小。使用相同的方法比较容器底部两个容器A和B中剩余液体的压力，我们可以看到pA最大。所以选择这个问题

（二）例如，如图1所示，两个固体均匀的立方体甲和乙分别放置在水平地面上，并且它们在地面上的压力相等。如果将两个立方体的上部在水平方向上切成相同高度，则其余部分与水平地面之间的压力关系为（）

A.p_甲

乙 B.p_甲=p_乙

C.p_甲>p_乙 D.无法判断

对于一些刚刚学会了压力的学生来说，在阅读完该问题后基本上不可能开始这个问题。如果做题思路及感觉与以前相同，截取相同高度后，其余部分也应相等，这种想法是错误的，关键是没有把握具体的知识。如果以通常的方式向学生解释（如下图所示）：

在没有截取之前；p_甲=p_乙

即 p_甲=ρ_甲gh_甲= p_乙=ρ_乙gh_乙

已知h_甲>h_乙，则ρ_甲<ρ_乙）

当截取相同高度△h后：

对于甲：p_甲=ρ_甲g(h_甲-△h)= ρ_甲gh_甲- ρ_甲g△h

对于乙：p_乙=ρ_乙g(h_乙-△h)= ρ_乙gh_乙- ρ_乙g△h

由上述得p_甲>p_乙，故选C。

有些学生仍然无法理解这种解释，复杂的计算和推导使学生感到茫然。“如果在此处使用极限法，当我们进行拦截时，相同高度的水平拦截将逐渐增加，从而使B被拦截。当A在地面上有压力，而B在地面上的压力为0时，则p _A不等于0，p_B = 0，所以p_A> p_B。这种方法可以让学生从复杂的过程中计算出来，快速找到解决问题的突破口，并迅速得到答案，准确。

（3）如图所示，桌面上有两个相同的圆柱形平底杯，分别装有质量相同的水和酒精。点A和B到杯子底部的距离相等。给定水的密度ρwater= 1.0×103kg / m3和酒精的密度ρalcohol= 0.8×103kg / m3，在点A和B处的压力pA和pB之间的关系为：

A．p_A＞p_B B．p_A＜p_B C．p_A＝p_B D．无法确定

分析：由于杯子中液体的质量是相等的，所以杯子仍然是相同的，因此杯子底部两个杯子中的液体压力是相等的；并且从杯子底部开始的两个点A和B的高度相同，但是ρ水>ρ酒精，因此点A和B之间的液柱到杯子底部的压力不相等。水中的液柱对应强压力，因此对应于点A的压力较小，而点B是正确的。

运用极限法时，两点到杯子底部的距离相等，并没限制多高，所以，可以理解为只要不高于水面都是可行的。基于此，设想A、B两点的高度正好与水面等高，则A点深度为0，那么p_A＝0。B点深度一定大于0，那么p_B＞0。显然p_A＜p_B。

3. 极限法在电学中的运用

例如：如图1用滑动变阻器控制小灯泡的亮度，当开关闭合，滑片P向左移动时，电压表的示数如何变化?

分析：当滑板P向左移动时，变阻器R的电阻变小。根据I = U /（R lamp + R），电路中的电流I变大。从电路图可以看出，灯泡L与压敏电阻串联，电压表测量压敏电阻两端的电压。然而，从变阻器R两端的电压U = IR可以看出，I变大而R变小，因此I和R的乘积很难直接判断。

如果使用极限方法，它将更加简单快捷。在此问题中，已知滑块向左移动。您可能需要扩展条件，即将滑块移到最左边。此时，R的电阻值变为0，因此电压表的指示变为0，电压表是从原来的有示数变为零，很显然电压表示数变小。

结束语

荷兰数学家斯梯芬（Stevin）在研究三角形重心的过程中改进了古希腊语的穷竭方法。他用几何直觉大胆地运用极限思维来思考问题。牛顿和莱布尼兹创建的演算也采用了极限法的思想。在整个物理学史上，有无数的科学家使用这种思维方法获得物理学定律的例子。伽利略在研究滚下倾斜的球的运动时使用了极限方法。外推至极限平面以获取定律。

作为一种思维方法，极限法越来越多地应用于多个领域，都体现了其价值。极限方法在解决问题上的灵活运用，可以提高自己的能力。与常规解决方案相比，用极限思维解决一些物理问题可以大大缩短解决问题的时间，提高解决问题的效率。这是我从初中教学过程中探索获得的经验。从上面的示例中，我们可以看到，使用限制方法可以使繁琐的推导更加简洁，并且可以由初中生掌握。但是，限制方法有一定的局限性，不能在所有情况下使用。在教学过程中，必须教给学生什么时候可以使用，即一定的物理量在一定的间隔内单调连续变化（逐渐增加或减少）。这时，我们可以考虑使用极限方法来解决此问题。

参考文献：

1. 孟丽君.极限法在初中物理教学中的应用[J].中学物理教学参考，2018（3）：12

2. 蔡志东.巧用极限法速解选择题[J].物理教学探讨，2007，(16):21.

[3]万后湘.“极限法”的使用注意条件：对一道初中物理习题的剖析[J].中学物理，2010（1）：63-64.