浅谈最大似然估计法

黄文蝶

摘 要：样本在分布函数形式已知但含有未知参数时，可以用最大似然估计法对未知参数进行参数估计。本文首先介绍最大似然方法和一般步骤，然后通过几个例题来说明最大似然估计方法。

关键词：未知参数；参数估计；最大似然估计

最大似然估计法是总体分布类型已知的条件下所使用的一种参数估计的方法。最早是由德国数学家高斯在1821年提出来的，但直到1922年费希尔重新发现这种方法并首先研究了这种方法的一些性质时，才得到广泛的应用。最大似然估计法的基本原理 ：用样本的函数值估计总体参数时所观测到的样本出现的概率最大 。

定义：设总体的概率函数为 ，其中 是未知参数参数， 是l维参数空间， 是来自该总体的一个样本，将样本的联合概率函数看成 的函数，用 表示，简记为 ，其中

称为样本的似然函数，如果某统计量 满足 ，则称 是 的最大似然估计，简称为MLE。

最大似然估计的一般步骤为：

(1)写出似然函数:

(2)对似然函数取对数得：_。

(3)解似然方程组： 。

(4)若似然函数不存在驻点，则用似然函数的单调性求解未知参数得取值。

以上步骤确实可以解决遇到的大部分关于最大似然估计的问题，但如果题目中的条件稍微灵活变化一下，有的学生就容易犯错。我们通过以下几个例题来说明：

例1 设某地区在每月发生重大事故的次数 服从参数为 的泊松分布( )，现有九个月的样本观测值7,0,3,2,0,5,4,2,4，求一个月内无重大交通事故的概率 的最大似然估计。

解：写出似然函数：

对 取对数，得：

故将 对 求导，令其为0，得似然方程：

解方程得： , 的最大似然估计为：_。

_{由于根据最大似然估计的不变性，的最大似然估计}

例2设某工序生产的产品的不合格率为 ，抽 个产品作检验，发现有 个不合格，试求 的最大似然估计。

解：写出似然函数：

对 取对数，得：

故将 对 求导，令其为0，得似然方程：

解方程得： ,故用得 的极大似然估计为：_。

例3 设某原件的使用寿命 的概率密度为 ，其中 为未知参数，又设 是样本 的观察值，求参数 的最大似然估计。

解：写出似然函数：

当 时，对 取对数，得：

对 求导得：

_{所以随着的增加而增加，因为 所以参数的最大似然估计值为。}

最大似然估计是统计中最重要、应用最广泛的方法之一,它利用了总体分布函数的相关信息，可以克服矩估计的一些不足。本文通过一些例题对最大似然估计方法进行了详细说明，体现了最大似然估计的精髓，也体现了其实用价值。最大似然估计在很多领域都起到了重要作用，所以对其方法探讨具有很大的现实意义．

        参考文献：

        [1]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计 [M].北京:高等教育出版社，2008，第四版.

        [2] 陈希孺.概率论与数理统计[M].安徽:中国科学技术大学出版社，2009.

[3]茆诗松、程依明、濮晓龙主编，概率论与数理统计教程[M]. 北京:高等教育出版社，2010年，第二版.