用几何画板画希尔伯特曲线

袁思涛

摘要：分形自1975年首次提出以来，短短40来年时间发展成为前沿数学学科，应用非常广泛。希尔伯特曲线是经典分形曲线之一,它是一条能够填满正方形平面的分形曲线。具有处处连续而处处不可导的性质。希尔伯特曲线反传统（具有分数维），反直觉（用无限长度围成有限面积）令人深思，发人深省。本文应用几何画板给出几种希尔伯特曲线的常见画法。

关键词：分形 几何画板 希尔伯特曲线 画法

一：画沿边的2x2正方形希尔伯特曲线步骤：

1.画初元：画水平线段AB.以AB为边画2x2正方形网格，中心为O点（图1）。

2.得到生成元：保留折线AEOFB，其余线段隐藏（图2）。

3.生成曲线：选中AB。将AB按照箭头所指方向，依次迭代到EA，EO，OF，BF上，得到沿边的希尔伯特曲线（图3）。

二：画沿边的3x3正方形希尔伯特曲线步骤：

1.画初元：画水平线段AB.以AB为边画3x3正方形网格（图1）。

2.得到生成元：保留折线AEFGHIJKLB，其余线段隐藏。（图2）

3.生成曲线：选中AB。将AB按照箭头所指方向，依次迭代到EA，EF，GF，GH，IH，IJ，JK，LK，LB上，得到沿边的希尔伯特曲线（图3）。

三：画沿边的2x2与3x3组合正方形希尔伯特曲线步骤：

1.画初元：画水平线段AB.以AB为边在同一个正方形中同时画2x2网格与3x3正方形网格，中心为O点（图1）。

2.得到生成元：保留折线AGHIJKLMNB，其余线段隐藏。（图2）3.生成曲线：选中AB。将AB依次迭代到EA，EO，OF，BF上，得到沿边的组合希尔伯特曲线（图3）

四：画沿中心的2x2正方形希尔伯特曲线步骤：

1.画初元：画水平线段AB。以AB为边画2x2正方形网格，中心为O，四个小正方形中心依次标记为G，H，I，J（图1）。

2.新建参数t，n。并计算t-1与1/2^t。

3.得到静态生成元：连接线段GH，HI，IJ。保留折线GHIJ，其余线段隐藏。

4.得到动态生成元：分别以E，O，F为缩放中心，依次选中线段GH，HI，IJ以相同比例1/2^t缩放得到相应线段G’H’，H’I’，I’J’。保留线段G’H，’H’I’，I’J’，其余线段隐藏。

5.生成曲线：依次点选t，A，B，n四项，按住shift键进行深度迭代。将t对应到t-1，线段AB按照箭头所指方向，依次迭代到EA，EO，OF，BF上，最后编辑t的值为n，相当于两个参数t，n合并了。得到沿中心的希尔伯特曲线（图3）。

五：画沿中心的3x3正方形希尔伯特曲线步骤：

1.画初元：画水平线段AB。以AB为边画3x3正方形网格，中心为O，九个小正方形中心依次标记为K，L，M，N，O，P，Q，R，S（图1）。

2.新建参数t，n。并计算t-1与1/3^t。

3.得到静态生成元：连接线段KL，LM，MN，NO，OP，PQ，QR，RS。保留折线KLMNOPQRS，其余线段隐藏。

4.得到动态生成元：分别以E，F，G，H，E，I，J，H为缩放中心，依次选中线段KL，LM，MN，NO，OP，PQ，QR，RS以相同比例1/3^t缩放得到相应线段K’L’，L’M’，M’N’，N'O'，O'P'，P'Q'，Q'R'，R'S'。保留线段K’L’，L’M’，M’N’，N'O'，O'P'，P'Q'，Q'R'，R'S'。其余线段隐藏。

5.生成曲线：依次点选t，A，B，n四项，按住shift键进行深度迭代。将t对应到t-1，线段AB，按照箭头所指方向，依次迭代到AT，EV，UD，VU，EY，ET，ZB，XY，XW上，最后编辑t的值为n，相当于两个参数t，n合并了。得到沿中心的希尔伯特曲线（图3）。

六．参考文献:

1.陈颙，陈凌编著《分形几何学》.地震出版社.1988