解决线段相等、角相等问题的思想方法

姜秀芹 曹海霞 王玉林

初中数学教育不应该是表面的、硬性的知识灌输。还要注重学生数学方法、思想的渗透,这样才会使学生的数学思维得到最大限度的开发与应用，这样才能真正提高学生学习数学的能力。本文根据解决线段相等、角相等问题，谈谈几种数学方法的体现和运用。

一、运用特殊图形的性质证明线段和角相等

例1：已知，如图，在△ABC中，

∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC。

求证：（1）∠ADE=∠AED（2）DB=EC。

归纳：（1）在同一个三角形中，

利用“等角对等边”或“等边对等角可以证明线段、角相等（2）利用等式的性质“线段和差”可以证明两条线段相等。（3）运用平行线的性质证明角相等。

例2：如图, 在正方形ABCD中，点P

在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分

别是点E,F。求证：AP=EF。

思路：连接PC，根据正方形的对称性

可得AP=PC，根据矩形性质可得EF=PC，于是AP=EF.

类似关于线段、角相等的性质有很多，比如，等腰三角形的“三线合一”、“同角（或等角）的余角（补角）相等”、“圆中的垂径定理”、“切线长定理”等等。

二 、运用三角形全等证明线段、角相等

例3：已知：如图，△ABC和△ADE是

有公共顶点的等腰直角三角形.

求证：（1）BD=CE；（2）∠1=∠2.

根据等腰直角三角形的性质，获得证明两个三角形全等的条件，在通过证明两个三角形全等获得有关线段、角相等。

三、运用比例性质证明线段相等

例4：梯形ABCD中AD//BC，EF//AD分别交AB、BD、AC、DC于点E、G、H、F。求证：EG=FH。

思路：根据平行线分线段成比例的性质，可得 ， ，从而获得两条线段相等。

四、运用双垂直证明两个角相等

例5：图1，在Rt△ABC中，CD⊥AB，所以∠ 1 =∠B；∠2=∠A；图2，在Rt△ABC中，DE⊥AB，所以∠1 =∠ B；

图3，线段AD和BC相交于点E， AC⊥BC于点C，AD⊥BD于点D，所以∠A =∠ B ;

图4，线段AC⊥AB于点A，线段DB⊥AB于点B，点E为线段AB上一点，CE⊥DE，所以∠1 =∠3

图1 图2 图3 图4

当然证明线段和角相等的方法还有很多，这里只举几个例子、几种方法抛砖引玉。数学常被誉为思维训练的体操，教师需要充分重视数学思想方法的渗透和总结提炼，把思维能力培养要落到实处，用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解、引申推广、反思评估、解法简捷、不断优化，培养学生思维的发散性、灵活性、敏捷性、深刻性、抽象性、严谨性、批判性。

主要参考文献：

[1] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书，数学，河北教育出版社, 2013;

[2] 义务教育数学课程标准;2011年版/中华人民共和国教育部制定,—北京:北京师范大学出版社,2012.1.

河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》，课题编号：1704076.

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