线框在匀强磁场中运动分析

高菲

一、背景

线框在匀强磁场中的运动，一直是高考的热点。它涉及楞次定律、法拉第电磁感应定律、磁场对电流的力作用、含源电路、动量定理、能量守恒等问题。其综合性很强，对学生的能力要求比较高。同时，线框在进出磁场的过程中，其速度、电动势、受力等是变化的，增加了学生进行受力分析和运动分析时的难度，导致出错率很高。本文将对三类模型进行分析，希望帮助学生更好的理解该类问题。

二、题型例析

1、水平面内穿越的线框

例

1.如图1，光滑水平面上，放一正方形线框，其边长为L,每条边电阻为R，质量为m，以初速度进入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场宽度为d,且d>L。求线框进出磁场过程中（1）速度的变化？（2）ab两端电势差 ？

图1

分 析：（1）求解速度的变化，首先需要对ab边进行受力分析。ab边进入磁场后，切割磁感线，产生感应电动势，水平方向上只受向左的安培力作用，所以做减速运动。又所以做加速度减小的减速运动。dc边刚好进入磁场时，设线框速度为 ，此时，由于线框完全进入磁场，磁通量不再发生变化，所以安培力为零，线框以做匀速运动。当ab边出磁场时，线框又开始做加速度减小的减速运动。dc边刚好出磁场时，设线框速度为 。

线

图2

框进入磁场时，由动量定理得 (由积分可得vt=L)，同理，线框出磁场时，由动量定理得 ，所以线框进入磁场和出磁场时，速度变化量相同，其v-t图，如图2所示。

2. 求解ab两端电势差 。求解此类问题，首先要画出等效电路，等效电路中的电源即切割磁感线那部分导体，根据右手定则或楞次定律，判出感应电流方向，标出电源。

当 线框ab边刚进入磁场时，ab边切割磁感线，相当于电源，其等效电路如图3所示。 为路端电压，所以 。当线框完全进入磁场后，等效电路如图4所示。因为ab边、cd边同时切割磁感线，所以回路中电流为零ab两端为开路电压 。此时若如图5所示，在回路中串有电压表和电流表，则两表示数均为零。当线框完全出磁场时，等效电路如图6所示， 。

例2.^[1]如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形。一位于Oxy平面内的刚性导体框abcde在外力作用下以恒定速度沿y轴正方向运动（不发生转动）。从图示位置开始计时，4 s末bc边刚好进入磁场。在此过程中，导体框内感应电流的大小为I， ab边所受安培力的大小为F_ab，二者与时间t的关系图像，可能正确的是( BC )

分析：本题考查导体棒切割磁感线问题，这时需要注意有效长度的计算。本题线框的有效长度为其在x轴上的投影。其次，选择题中图像问题注意找其特殊位置，即差异点。对比四个选项，可以看到2s末电流和安培力均存在差异，可以进行计算，从而排除。

设正方形边长为L，导体框速度为v，导体框总电阻为R。因为4s末bc边刚好进入磁场，所以 。在0—1s内，只有ae边切割磁感线，有效长度为2L.所以 , 。又1s末ab边在磁场中的长度为L,所以安培力 。t=2s时，有效切割磁感线的长度为3L，所以 ，所以 ,因为ab边在磁场中的长度为2L,所以 。通过对特殊点分析，可以快速选出BC选项。

2-4s内，dc边一部分在第一象限做切割磁感线运动，因为第一和第二象限磁感应强度方向相反，所以产生的感应电流方向相反。t=3s时，dc边在第一象限和第二象限有效切割磁感线长度相同，恰好互相抵消。此时导体框切割磁感线的有效长度为ae边，大小为2L,所以 ,此时ab边在磁场中的长度为3L, 。t=4s时，线框完全进入磁场中，有效切割长度为L。所以 , , 。

2、竖直面内坠落的线框

例3.^[2]如右图，空间某区域内存在沿水平方向的匀强磁场，一正方形闭合金属线框自磁场上方某处释放后穿过磁场，整个过程线框平面始终竖直，线框边长小于磁场区域上下宽度。以线框刚进入磁场时为计时起点，下列描述线框所受安培力F随时间t变化关系的图中，可能正确的是（BCD ）

分析：对于图像问题常用的解题方法是写出其公式，再找函数关系。

线框刚进入磁场时所受安培力_，所以安培力 ，若要判断F与t的函数关系，可以先分析线框进入磁场时可能的速度关系。

线框进入磁场全过程可以分为五个阶段：

(1)．线框进入磁场上边界之前做自由落体运动：此阶段的末速度为 ＝

(2).线框进磁场做加速、减速还是匀速取决于 大小。我们先讨论一种临界情况，即

此时，线框匀速进入磁场,速度为

①若 ，则做匀速运动，此时F-t图，如B选项第一阶段所示。

②若 ，则做加速度ａ＝ 逐渐减小的变减速运动。这其中又有两种可能：有可能一直做变减速运动；也有可能先做变减速运动后做匀速运动，但不论哪种情况，末速度一定满足 ，此时F-t图，如A、C选项第一阶段所示。

③若 ，则做加速度ａ＝ 逐渐减小的变加速运动。这其中又有两种可能：可能一直做变加速运动；也有可能先做变加速运动后做匀速运动（重力势能转化为内能和动能）。末速度一定满足 .此时F-t图，如D选项第一阶段所示。

(3)．线框完全在磁场中时，所受安培力为零，做加速度为ｇ的自由落体运动：此阶段的末速度设为 。

(4).线框上边界刚开始出磁场时，对于第(2)个阶段所对应的①②两种情况，一定满足 ，则做加速度ａ＝ 逐渐减小的变减速运动。由此可以选出B、C选项。

对于③所对应的情况可能有两种，第一种情况： ，出磁场时则做加速度ａ＝ 逐渐减小的变减速运动，对应选项D。第二种情况： ，此时出磁场时，线框继续做加速度ａ＝ 逐渐减小的变加速运动。

(5)线框完全离开磁场后，做自由落体运动。

3、斜面上的线框

例 4.如图，光滑斜面的倾角α=30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l₁=lm，bc边的边长l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M=2kg，斜面上ef线（ef∥gh）的上方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5 T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh的距离s=11.4m，（取g=10m/s2），求：

（1）线框进入磁场前重物M的加速度；

（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v；

（3）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t；

（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热。

分析：（1）线框进入磁场前重物M的加速度 
（2）抓住线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，可以建立平衡方程： 解得v=6m/s 
（3）求解线框整个过程的运动时间，先要分析线框从静止开始到运动到gh线处有几个过程。首先线框abcd进入磁场前时，做匀加速直线运动，加速度大小与重物的加速度相同，为a=5m/s²_，该阶段运动时间为 ；进磁场的过程中，做匀速直线运动，运动时间 ；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动。线框完全进入磁场后，线框受力情况同进入磁场前相同，所以该阶段的加速度仍为a=5m/s² ，由 ，解得：t₃=1.2s 
所以ab边由静止开始运动到gh线，一共分为三个过程，所用的时间为t=t₁+t₂+t₃=2.5s 
（4）线框完全进入磁场后，以a=5m/s²做加速运，所以到gh处的速度

求解整个过程产生的焦耳热可以利用能量守恒，也可以利用克服安培力所做的功。因为线框进磁场的过程中，做匀速运动，安培力为恒力，所以求产生的焦耳热时，利用克服安培力做功求解更方便，所以整个运动过程产生的焦耳热 或 。

三、结论与思考

线框在磁场中的运动，是电磁感应规律的综合应用。求解此类问题时，要注意划分运动过程即：线框进磁场阶段，线框完全进入磁场阶段和线框出磁场阶段。每个阶段，线框的受力不同，需重新受力分析，结合力与运动、电磁学的规律，区别对待。

线框在磁场中运动的解题方法：

1. 线框进磁场过程中，根据楞次定律或右手定则判断感应电流的方向，标出电源，再利用左手定则判断安培力方向。

2. 求解电势差、电动势等电路结构问题，首先画出等效电路图，找出等效电源。

3. 求解I-t,F-t,U-t,q-t等图像问题，先根据法拉第电磁感应规律 或 写出 ,_， 等对应表达式，再找相应规律。

4. 求解电磁感应中产生的焦耳热，一般利用能量守恒或克服安培力做工求解。

参考文献：

[1]2020年山东高考卷

[2]2018届福建省高三毕业班质量检查测试