对梯形面积公式表述的商榷

张范津  ,脱文安

摘要：梯形的面积公式是小学数学“多边形的面积”单元的最后一个面积计算公式，是由平行四边形的面积公式推导而来。这个公式除了有计算梯形面积的作用，也可以看成是计算三角形、平行四边形面积的通用公式，还与等差数列有完美的数形结合。梯形面积公式语言表述为“上底加下底乘高被二除”，尽管经典但并非完美无缺，其瑕疵起码有三。其一，逻辑关系上不合理；其二，思考理解上太艰涩；其三，实际运算上欠简练。

关键词：梯形面积公式；数学阅读；深度理解

计算梯形面积应该是小学五年级上学期学习的知识，在教学中它是由正方形、长方形、三角形、平行四边形面积计算公式逐渐演化推导而来的。其公式为：

梯形面积=（上底+下底）×高÷2。

用字母表示，S=（a+b）×h÷2。

上底加下底乘高被二除，或上底加下底乘高除以二，这是一个经典表述，经典的公式。尽管经典但并非完美无缺，在教学过程中，其瑕疵起码有三。

其一，逻辑关系上不合理。计算公式表达的是解题思路和数据步骤间的逻辑关系。梯形面积计算公式基本思维逻辑是“一长×一宽”或曰“长×宽”。课本中教授的“（上底+下底）×高÷2”公式，其主体是“（上底+下底）×高”，除以二只不过是将其分为两份而已。将“（上底+下底）×高”的式子，分解开来即上底（长）和下底（长）分别乘以高（宽），是两长乘以一宽。只有“（上底+下底）÷2×高”才可回归“长×宽”的逻辑。所以说按“（上底+下底）×高÷2”的顺序列算式，逻辑关系是不合理的。

其二，思考理解上太艰涩。“（上底+下底）×高”这一步计算，貌似“长×宽”的概念，其实不然，因为将上底和下底“+”起来，很难让孩子们理解为“面”上的“一”条边，这样理解太艰涩了。

其三，实际运算上欠简练。用简便的方法解决复杂的问题，使其由繁入简，才是解题“上之上者也”的追求。“（上底+下底）×高÷2”的运算顺序，显然还没有达到这一目标。如一个梯形上底长105米，下底长123米，高43米，其面积为：

（105+123）×43÷2

=228×43÷2

=9804÷2

=4902（米）。

而将其顺序调整，改为“（上底+下底）÷2×高”

（105+123）÷2×43  

=228÷2×43

=114×43

=4902（米）。

这样计算起来岂不就方便了些。

因此，建议将梯形面积公式改为：

梯形面积=（上底+下底）÷2×高。

用字母表示，S=（a+b）÷2×h。

弗赖登塔尔曾指出：“数学学习的唯一正确方法是实行‘再创造’，就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种‘再创造’的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”在对梯形面积公式的质疑过程中，起码能给我们带来三个方面的启示。

其一，数学教学要大胆“励其疑”。对梯形面积公式的质疑不是炫耀自己的标新立异，而是在向学生传导一种观念，那就是“质疑”。即坚决反对信师好古地盲目学习,努力戒除呆读死记的强迫灌输。要求学生在理解的基础上，打破对权威的盲目崇拜，打破“圣贤所言皆无非”的迷信，倡导“问难穷究”“核道实意”的学风。“学起于思，思源于疑”，质疑是创新之母，是“再创造”的航标灯。对此巴尔扎克深有体会，他说：“打开一切科学大门的钥匙都毫无疑义的是问号。我们大部分的伟大发明都应归功于‘如何’，而生活的智慧，大概就在于逢事都问个‘为什么’。”因此，教学中就应大胆地鼓励学生提出“为什么”，由疑而思，由思而学，追根问底，释疑求真，非如此就不可能激发出学生“再创造”的潜能，也就不可能产生“再创造”的奇迹。

其二，数学教学要竭力“使其信”。数学本身的显著特点就是其高度的抽象性，逻辑的严密性，结论的确定性和应用的广泛性。数学教学也必须适应这一特点，它由不得天马行空，也不可能是猜猜看的游戏，而必须通过缜密的推导，逻辑的论证形成“公式”的结论，只有这样才能让学生“信”。梯形的面积计算是学生在掌握了平行四边形、三角形面积计算的基础上学习的，在这一个学习过程中，调动学生的大脑神经及多种感官聚焦学习对象的表象及内涵，通过积极参与、主动探究、深度思考，让学生获取梯形面积的多种推导方法，并力求方法穷尽，这样就会更增其信。同时，也印证了日本数学家米山国藏:“在给学生讲授数学定理、数学问题时，与其着眼于把该定理、该问题本身的知识教给学生，还不如从教育的角度利用他们:启发锻炼学生的思维能力（主要是推理能力、独创能力）；教给学生发现定理、法则的方法及其练习。”的真理性。

其三，数学教学要努力“劝其行”。正因为具有高度的抽象性，逻辑的严密性，所以教学中就不容易激发起学生的兴趣。作为一名合格的数学老师就应该寓教于乐，要以教材为课程资源，根据自身实际，体现个性化的风格，创造性地使用教材。要大胆开发课程资源，从学生的认知特点出发，合理配置课程资源，通过神奇的推理和幽默的语言，灵活多样和生动有趣的教学，把学生带入奇妙的数学王国，领进一个充满数学美的境地，让学生在课堂学习中体验数学趣味，在解题运算中学会数学思考，在生活实践中提升数学素养，从而达到让学生愿学数学，学会数学思考的目的。