多视角生成微专题，提升习题价值

杨分田

摘要：本文以教材中一道习题为载体，围绕习题的结构特征，学生的疑难点，知识的再生点，分别从模型视角、卡脖子视角、整合拓展视角分析教材习题，生成不同主题的微专题，达到认真解一道题，解决多类题，深化一片题，提升习题的教学价值。

关键词：多视角 微专题

教材习题是经过专家认真研究选取的，具有一定的示范性、典型性、探索性。但在现实的教学中，教师迫于考试压力拼命补充课外习题，对教材的习题却蜻蜓点水，一带而过，忽视教材习题的潜在功能。我们的学生虽然做了大量的题，思维依旧停留在浅层次水平，解题能力也未见提高。经过多次教学实践，我们发现将微专题思路应用在习题教学上，围绕习题的结构特征、学生的疑难点、知识的再生点生成不同主题的微专题，引导学生从不同方向联系所学知识，形成横向、纵向的知识网络，深层次加工习题，达到认真解一道题，解决多类题，深化一片题，实现习题的教学价值最大化。我们以人教版《普通高中教科书数学》（选择性必修第二册）教材104页18题为例做简要的探讨。

（题根）已知函数. 当时，求证.

题根背景分析：熟悉高考题目的老师一眼就能看出，此题是一道全国卷高考题，摇身一变成了新教材中导数这章复习题中的一道拓广探索题，主要考查利用导数证明定范围的含参不等式。

一、围绕题目的结构特征从模型视角生成微专题

教材的每一道习题都具有一定的典型性，围绕其结构特征从模型视角生成微专题，通过教师引导，由学生自主感知其结构特征，在合作交流中探索解题方法，在同类题组训练中提炼模型及归纳其解题方法。

题根分析：教材中的这道题是一道典型的“定范围的含参不等式”模型，此类问题处理是应用放缩思想，将含参的不等式转化为不含参的不等式来证明。为掌握此类模型的解法，我们设计了微专题1《含参不等式之满参放缩》。

环节一 分析结构

教师展示以下高考试题，并口头叙述：“不等式的证明问题是高中数学学习的重点、难点，也是高考的热点。”

引例.（2018•新课标Ⅰ）已知函数.

（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；

（2）证明：当a时，f（x）≥0．

环节二  探索方法

基础问题1 请比较与的大小

基础问题2 请比较与的大小。

例1 已知函数. 求证

变式 已知函数. 当时，求证.

环节三 题组训练

1 已知函数，证明：当时，.

2 已知函数.   证明：当时，

3 已知函数.若，证明：当时，

环节四 模型提炼

通过微专题教学，引导学生抽象出“定范围的含参不等式”模型，概括此模型的基本思路——消参，采取放缩思想利用含参处函数的单调性将其转化为不含参的不等式问题，我们称这种放缩为满参放缩，并引导学生归纳解决这类问题的通法通性。

设计意图：上述教学设计是从习题的结构出发，围绕定范围的含参不等式处理的主要方向——消参，通过必备知识的梳理，引导学生进行合作探究，通过同类题组的训练，引导学生熟练其结构，并形成对一类问题的清晰认识和整体把握，从而提高学生解决此类问题的能力。

二、聚焦学生疑难，从学生卡脖子视角生成微专题

微专题教学要立足学生解决学生认知结构中的真问题，抓住学生的疑难处从卡脖子视角生成微专题。对于习题中的疑难点，我们要注意避免“碎片化”或“就题论题”的讲解，应以突破学生的“疑难点”为目标，深究其背后的原因，挖掘其“知识漏洞”和“思维缺陷”，依托问题主线，由浅入深，层层递进，组织微专题教学，通过对问题的剖析，修复知识漏洞和提高学生的思维能力。

如通过上面微专题教学后，学生在解题方法和解题思路上有了很大的提升，但是在具体求解中往往在求导数的零点时被卡住，其问题根源在于方程的根无法求解，即涉及隐零点问题的处理。隐零点问题比较抽象，通常情况下是采取虚设零点，再通过零点满足的条件整体代换，对变形代换的技巧要求比较高，为此我们从函数的零点知识出发，设计了微专题2《隐零点之判断和整体代换》

基础性问题1：判断函数的零点所在的区间（   ）

基础性问题2：已知函数，请判断函数零点的个数．

基础性问题3： 已知函数，是的导函数，证明：存在唯一的，使得

例1：若函数，请判断函数的零点个数.

变式1：若有两个零点，求的取值范围．

变式2：设函数，

（1）讨论的零点个数（2）证明：当时，.

设计意图：卡脖子问题的根源大多在于基本原理没有弄明白，此时往往需要我们教师引导学生重新对基本知识进行梳理，在此微专题中，我们从零点的存在性定理入手，设置基础性问题梳理函数的零点判断方法和整体代换的技巧。

三、挖掘知识的再生点从整合拓展视角生成微专题

在微专题教学中，我们常要跨越单个知识章节界限，按照一条主线将零散的知识按照内部的逻辑整合起来，并带领学生对知识进行深层次的加工，从知识整合拓展视角生成微专题，学生只有经历了对知识的整合与拓展，才能达到知识的融会贯通，才能创造性地解决问题。

针对上述题根，我们结合导数的几何意义，整合教材中的资源，挖掘出知识的再生点生成微专题3《导数的几何意义之进阶版——切线不等式》。

环节一：资源整合 自主学习

1. （选择性必修第二册）94页第2题证明以下不等式，并通过图象直观验证：

环节二：合作探究 形成结论

问题1：根据导数的几何意义，请说出上述（1）和（2）的几何意义。

问题2：根据指对数的关系，你能说出不等式（1）与（2） 的联系吗？

问题3：根据指对数函数图象与切线的位置关系，你还能写出其他类似的不等式吗？

环节三：拓展升华 初步应用

问题4：观察不等式（3）的图象，请尝试从几何的角度证明不等式

引导学生分析：从几何角度看，指对数函数图象分居在直线上下侧，结合切线不等式，对于指对数同时存在的题目，我们只需思考是否存在与两者同时相切或平行的直线。

环节四：链接高考 深化认知

1 （2018年理科全国I卷21题）已知函数.证明：当时，.

2（2020年全国新高考1卷第21题）已知函数若求的取值范围。

设计意图：通过问题串的引导，挖掘出不等式的本质，再将知识拓展到指对数同时存在的题目中，从几何意义上考虑会发现其本质完全相同，若用通法求解，过程非常繁琐、复杂，利用切线不等式寻找与两函数相关联的切线，使问题转化为两条切线的问题，从而化解了此题的痛点。再通过在高考题中的应用，让学生感知高考题源于教材，即便是高考压轴题很多时候也是教材例习题的延伸，教学中我们若常将教材习题与同类高考题对比，学生一定会重视教材习题，重视对习题进行的整合与拓展。

以上只是对教材中一道习题从不同视角进行的微专题教学思考。在习题教学中，教师首先要对教材习题进行认真分析和研究，为学生自主探究、合作交流提供学习资源，从模型视角，加深对模型的理解和形成对应的解决方法；从卡脖子视角，突破学生学习中的“疑难点”；从整合拓展视角，挖掘知识的再生点，加强知识的融会贯通。通过不同视角生成微专题，多角度对教材习题进行探索，用好用活教材，实现教材的习题价值的最大化。

参考文献：

1. 潘永斌.整体架构下的动态生成——“微专题”设计的教学实践与思考[J].数学教学通讯，2020（6）:3-5.
2. 李宽珍.基于课本资源的“微专题”教学实践与思考——以“阿波罗尼斯圆”复习课为例[J]课程与教学（下旬），2015（11）:32-34.

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