圆柱认识及其表面积公式推导

刘洋

一、教材解读

课标分析

《义务教育数学课程标准》第二学段目标中提出，在本学段中学生将了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，发展空间观念；在教学中应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题，应注重使学生通过观察，操作，推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状大小位置关系及变化，发展学生的空间观念。

《圆柱的认识及其表面积》是人教版六年级下册第3单元的教学内容，是在学生已经对长方体、正方体相关知识点有了充分认识的基础上展开的。《义务教育数学课程标准》指出的总体目标之一是“让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的基本的数学思想方法”。

所以本节课首先应该加强数学知识与实际生活的联系，提高运用所学知识解决实际问题的意识与能力。这部分内容与实际生活联系密切，因此教学时应注意加强与实际生活的联系，重视运用所学知识解决实际问题的意识与能力的训练，例如在认识圆柱之前，可以让学生收集整理生活中有关圆柱的实例和信息资料，并在此基础上制作圆柱显得尤为重要。

其次，引导学生经历知识的探索过程，培养学生自主解决问题的能力。本单元注重对图形特征计算方法的探索，为此教学时应放手让学生经历探索的过程，在观察操作推理想象的过程中掌握知识发展空间观念。如引导学生在制作圆柱时主动建立圆柱底面周长、高与侧面展开图的联系；又或者在不断将圆柱展开、合成的过程中自主探索表面积计算公式，且在公式基础上来探究影响圆柱表面积大小的量。

最后，充分关注操作与想象相结合，发展学生的空间观念。本节课的开始，课件设置一组“点动成线，线动成面（圆），面动成体（圆柱）”动画，加之最后通过快速旋转长方形，引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程，发展空间观念。

教材分析

本节课教材注重加强数学与现实生活的联系，教材首先是通过大量生活中的圆柱，在学生观察思考这些物体形状的共同点，并从实物中抽象出它们的直观模型的基础上引入，在认识他们的主要特征后，让学生从生活中寻找更多这样的特征的事物，以加强所学知识与现实生活的联系，加深对圆柱的认识，进一步感受几何在生活中的广泛应用。

其次，教材加强对图形特征及其表面积计算方法的探索，对于圆柱表面积计算的教学，教材一开始就提出问题，圆柱的侧面展开后是什么形状？让学生动手操作剪一剪展开观察，再进一步探索。在此基础上，教材又提出进一步探索的问题，圆柱的表面积怎样计算呢？使学生通过探索得出圆柱表面积计算公式。

除此之外，教材在操作中加强对空间与图形相关问题的思考，进一步发展空间观念。《新课标（2011）版》提出，在数学课程中应当注重发展学生的空间观念。在认识圆柱时，教材注重引导学生根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出物体相互之间的关系。教材还编排了用长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动的活动及相应的练习，这些内容是学生在经历观察、操作、推理想象的过程中认识圆柱的特征，掌握圆柱表面积计算方法，不仅有利于激发学生的学习兴趣，同时使学生了解平面图形与立体图形之间的联系和转换，发展空间观念。

与此同时，教材还注重在问题解决中培养应用意识和创新意识。教材设置解决完具体问题后的及时回顾与反思，对问题解决的策略以及所涉及的数学思想进行归纳和概括，就是培养创新意识的重要方面。

学情分析

《圆柱的认识及表面积》这一课是在学生已经学习了长方体和正方体的认识及表面积的基础上进行的，学生在一年级已经通过实物和模型直观认识了圆柱，而且在此之前学生已经初步理解了表面积的含义，这是圆柱表面积的学习基础，圆柱的表面是由两个相同的底面和一个侧面构成的计算，圆柱的底面面积就是计算圆的面积，对学生来说并不是新知识，所以教学的重点是探索圆柱侧面积的计算方法。教材中突出了圆柱侧面展开图的探索过程，以及侧面展开图的长、宽与圆柱关系之间的联系。探索得出关系后，结合之前学生已经学习的长方形、正方形面积计算公式，圆柱表面积计算公式学生便很容易推到出来了。

二、课例描述

环节一：引入

1、设置一组“点动成线，线动成面（圆），面动成体（圆柱）”动画，引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程，发展空间观念，引出本节课研究对象“圆柱”。

2、引导学生例举生活中的圆柱， PPT展示，并从生活中的圆柱中将其他属性剔除，保留形状上的一致属性，抽象出圆柱的一般性直观模型，并再次给这一名模型命名——圆柱。

3、通过观察圆柱高矮胖瘦的不同，引导生初步感知圆柱有高矮以及底面完全相同性。

4、及时给出若干图形，引导学生找出圆柱，及时巩固。

     （设计意图：这一环节与一年级初步认识圆柱也保持一致，体现了空间观念中根据物体特征抽象出几何图形的要求）

环节二：用卡纸制作圆柱

1、明确制作工程中的要求与问题

      （1）前后四人为一小组，利用卡纸，分工合作，制作圆柱。

（2）在制作工程中去发现：

你在制作圆柱时用到了什么图形？ 组成了圆柱的哪一部分？

你在制作过程中遇到了什么问题？

        怎样解决问题？

     （设计意图：首先在利用卡纸制作圆柱的过程中，借助问题引导，学生能够更直观的去感知圆柱表面的组成，以及这些面的曲、平性）

2、引导学生代表发言，并在学生发言过程中给出侧面、底面的定义。

   问题一预设：所用图形为一个长方形和两个完全相同的圆，长方形围成了圆筒，两个完全相同的圆放在上面和下面。（及时给出定义：圆柱的上下两个面叫做底面，圆柱周围的面叫做侧面。并引导生发现侧面与底面平、曲性的不同）

  （设计意图：将认识圆柱底面与侧面，以及感知平、曲性不同的环节放在制作圆柱之后，取代了以往的灌输性教学，让学生从实际操作中感知发现，真正体现了以学生为主体教学）

   问题二预设：在制作过程中发现用长方形制作的圆筒，与裁剪好的圆扣在一起，无法完全吻合。

   问题三预设：

     法一：可以先裁剪圆，然后根据圆的大小，不断收缩圆筒，大小合适后再粘合圆筒。

     法二：圆筒粘合后，将卡片放在圆筒下面，沿着圆筒的底边画一圈，把圆的大小确定后再进行裁剪。

及时发问：沿着圆筒底边画的一圈是侧面长方形的什么量，又是底面圆的什么量呢？

（设计意图：在学生提出解决方案后及时发问，引导学生明确沿着圆筒底边画的一圈就是侧面长方形的长，又是底面圆的周长，从而引导学生推导出圆柱侧面的长与底面周长的等量关系）

及时发问：那长方形的宽是圆柱中那个量？

（借助问题，在前面已经对高有了初步感知的基础上，给出明确定义：圆柱的两个底面之间的距离叫做高）

（设计意图：在这一过程中，借助问题引导学生对圆柱进行一步步研究的同时，要伴随着每一步进行动画展示，强化认识）

3、引导学生思考：

（1）制作好圆筒后，除了沿着圆筒底边画一圈之外，还能怎样确定底面的大小？（半径决定的底面的大小）

（2）怎样确定半径？（长方形的边长（底面周长）÷π÷2）

    4、及时巩固

 

5、深入探究：

（1）将圆柱侧面剪开后可以得到哪些图形？探究这些图形与底面圆之间的关系。

 

（2）梯形可不可以围成圆柱的侧面，为什么？

（设计意图：圆柱的上下底面是完全相同的，无数条高是相等的。因为梯形的上底和下底长度不一样，所以它无法符合围成圆柱侧面的条件，借助梯形不可以围成圆柱侧面的原因，再次引导学生深入感知圆柱侧面与底面量之间的关系）

环节三：圆柱表面积公式推导

1、引导学生再次强化圆表面的组成（一个侧面+两个完全相同的圆底面）

2、知识迁移引出圆的表面积概念并给出相应算式关系。

（圆柱表面积=侧面面积+两个底面面积）

3、问题引导：想要计算圆柱表面积，至少需要知道几个信息？

      （设计意图：这个问题一定要强调“至少”，这样设计可以引导学生将信息细化，将公式细化，从而加深对圆柱表面积计算的理解）

已知信息	推导公式
h 、 r	S=S侧+2S底=2πrh+2πr2
h  、d	S=S侧+2S底=πdh+2π(d÷2）2
h 、C底	S=S侧+2S底=2C底h+2π（C底÷π÷2）2
……	……

    4、引导学生在上述问题基础上推导相应公式。

（设计意图：此推导公式的环节的重点不是让学生在推导完之后去死记硬背，而是让学生在经历推导的过程后，明确计算圆柱侧面积所需要的量，以及量与量之间的关系，为后续解决问题打下牢固基础）

5、及时巩固。

环节四：拓展提升

1、将一张长3厘米，宽2厘米的长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，转出来是什么形状？它的各部分和展开前有着怎样的对应关系？并求出它的表面积。

 

 

2、用一张长30厘米，宽20厘米的长方形卡纸，可以通过什么方法得到圆柱？它的各部分和长方形卡纸有着怎样的对应关系？

（设计意图：发挥学生的空间想象力，加深对圆柱的认识，感受平面图形和立体图形的关系，加深对圆柱表面积的认识，并初步体会一些变量之间的关系）

三、课堂观察设计与数据分析

学生提问观测量表

序号	问题记录	问题提出		问题类型		调查问卷
		教师引导	自主生成	知识理解运用	分析综合评价	A	B	C
1	你在制作圆柱时用到了什么图形？ 组成了圆柱的哪一部分？	√		√		我有问题并且有机会提出问题	我有问题但没机会提出问题	我没有产生问题
2	你在制作过程中遇到了什么问题？怎样解决问题？	√		√
3	沿着圆筒底边画的一圈是侧面长方形的什么量，又是底面圆的什么量呢？		√	√
4	长方形的宽是圆柱中那个量？	√		√
5	除了沿着圆筒底边画一圈之外，还能怎样确定底面的大小？怎样确定半径？		√	√
6	将圆柱侧面剪开后可以得到哪些图形？		√	√
7	梯形可不可以围成圆柱的侧面，为什么？		√	√
8	想要计算圆柱表面积，至少需要知道几个信息？		√		√
合计	8	3	5	7	1	29	4	4
百分比		37.5%	62.5%	87.5%	12.5%	78.4%	10.8%	10.8%

课堂时间分配观测表

内容时间		环节一 引入	环节二		环节三 公式推导	环节四 拓展提升	总时间	占总时间百分比
			制作圆柱	深入探究
教师类	教师讲授的时间	3		5	3	3	14	14	35%
学生类	学生个体活动时间	3		3	6	4	16	26	65%
	小组活动时间		10				10
总时间		6	10	8	9	7	40	100%
占总时间百分比		15%	25%	20%	22.5%	17.5%	100%	100%

数据分析：

从学生提问观测量表来看，本节课以问题主导课堂，探究性知识点较多，学生参与度较高，且大部分学生始终是以“产生问题——提出问题——解决问题——联系新问题”的节奏去探究新知。但教师引导的依然过多，其实在学生已有知识的基础上，这节课完全可以变成一节彻底的探究课，六年级的学生，完全有能力去自己生成一些问题，比如“除了沿着圆筒底边画一圈之外，还能怎样确定地面的大小”这个问题，学生可以在前面一系列操作下自主探究自主生成，老师“过于着急”，只能会剥夺孩子自主课堂的机会与权利。

就课堂时间分配而言，引入环节用去时间占总时间的15%，比重较一般课堂引入环节占比较大，但这能够有充分的时间引导学生观察、分析，来对圆柱有一个整体性认识，才能为后续操作提供一定方向牵引。环节二是本节课的重头戏，它的时间占据了总时间的45%，学生经历了充分的动手操作、合作探究，有足够的时间来提取已有的经验和获得的信息，从而完善自己的知识体系，形成完整的知识结构，体现了新课程合作学习的理念。在环节二的基础上，环节三“公式的推导”就成了顺水推舟的事情，所以占比较小，这也是我为什么会打破传统课时安排将圆柱的认识与圆柱表面推导公式合二为一。拓展提升环节占比17.5%，旨在引导学生再次突破面与体的分水岭，了解平面图形与立体图形之间的联系和转换，发展且强化学生的空间观念。

四、课例反思

在学生对圆柱已经有了初步认识，以及对长方体、正方体以及圆等方面有了一定知识积累基础上，本节课我将圆柱的认识与表面积公式推导结合到了一起，让学生通过制作圆柱，裁剪圆柱侧面等活动，引导学生通过操作、观察、比较、交流等活动，将圆柱与侧面展开后得到的长方形的长与宽相关的量对应起来，进而通过强调圆柱侧面展开图与圆柱的相关量之间的关系，引导推导圆柱表面积计算公式，并通过让学生去发现至少需要哪些量可以计算出圆柱的表面积这一环节，引导学生根据不同的信息，灵活选择计算公式，提高解决问题的能力。整节课都是大胆放手让学生进行猜想和探究，教学环节紧凑，学生在问题引导下进行自主学习、总结公式。最后利用长方形卡纸怎样得到圆柱这一问题，对本节课知识点进行升华，夯实本节课知识点的同时，也为后续学习打下了基础。

本节课的不足有两点，首先综合评价类问题较少，后续应进行改进；其次，课容量略大，适合师生关系磨合较好、有一定自主学习能力的班级进行，并不适合所有班级。除此之外，本节课结束后要设计详细层次练习进行及时巩固。

参考文献：六年级上册《教参》 《新课程标准》