基于Wiener退化模型的可靠性评价方法研究

王小飞  高彤  商奇奇  孙东杰

摘要:本文研究了有两个加速变量，带随机效应的Wiener退化模型的退化问题。基于Wiener退化模型，本文讨论了模型参数和可靠度的区间估计问题。研究了检验随机效应和两个应力是否存在交互作用的检验问题。并给出了检验统计量和拒绝域。蒙特卡罗模拟证明了本文提供的方法的可行性。最后，发光二极管实例进一步证明了本文提供的方法的可行性。

关键词: 加速退化试验； 广义置信区间； 随机效应； 可靠度

一、引言

随着科学技术的发展, 高可靠产品越来越多。由于高可靠产品即使在加速寿命试验情形也很难收集到失效数据, 因此很难用传统的基于失效数据的统计方法来评价这些产品的可靠性。 人们注意到产品的性能随着产品使用时间的增加而发生退化,因此可以利用产品的退化数据对高可靠产品的可靠性进行评估。现在基于产品性能的退化数据进行可靠性分析的技术是当前可靠性领域的研究热点之一。 文[1]说明了产品的可靠性指标可以通过退化数据来估计。其他关于退化的文献可以查看文[2-3]。

加速退化试验是研究退化的一种重要方法,恒加试验, 步加试验, 序加试验是三中常用的加速退化试验。常用的随机过程模型有Wiener过程, Gamma过程和Inverse Gaussian过程。 在上述的三中随机过程模型中, Wiener过程是应用相对较广泛的一种。本文基于带随机效应的Wiener过程, 研究有两个加速变量的加速退化问题。 上述方法主要考虑了参数的点估计问题, 本文侧重考虑模型参数和可靠性指标的区间估计问题。 区间估计比点估计有其优越性, 能在一定的概率下知道相关量的取值范围。 传统的区间估计方法, 例如Wald区间或者bootstrap区间, 依赖于大样本性, 在样本量较大时, 有比较好的结果, 但是, 当样本量比较小的时候, 比较难得到好的结果。本文基于广义枢轴量, 研究了小样本下相关量的区间估计问题, 其操作容易, 在样本量比较小时, 也能有比较好的结果。

二、退化模型

假定产品的退化路径可以用Wiener退化过程拟合, 记为:

                                                          (1)

其中 表示转移参数,表示扩散参数,表示标准的布朗运动。 记

则维纳退化过程满足下面三条性质:

1. 独立增量性.

2. 服从正态分布.

3. , 其中表示初始测量时间. 

在实际问题中, 由于生产过程, 人工操作等方面的原因, 不同产品之间可能存在差异, 这种差异性可以用随机效应模型来刻画。 在这里, 我们假定转移参数是随机参数, 且其服从正太分布。 因此我们有如下的随机效应模型

                                                (2)             

当退化模型(2)的退化量达到临界值时, 产品被视为失效, 用表示退化模型(2)的寿命, 则

                        

根据文[23], 寿命的密度函数和分布函数如下:

其中表示标准正态分布的分布函数。

对于常应力加速退化试验, 产品被分成若干组, 每组在其中一个加速应力下检测。 通常假定参数受应力水平影响, 因此, 是应力水平的函数, 记为, 通常应力水平越高, 越大, 即平均寿命越低, 或者说产品在高应力下越容易失效。我们先做如下假定:

A1 温度和电压是加速变量, 。

A2 在应力下, 有个样品进行退化试验。

A3 表示正常应力。

A4 在本文中均使用标准应力, 记:

    ，。

A5 所有样品的检测时间都相同, 记为: 。

A6 在应力下, 产品退化轨道服从Wiener过程:

                 

A7 参数和标准化后的应力关系为线性关系: 。 a,b,c,d为待估参数。

A8 假定所有产品的初始退化量都是0, 。

三、 理论推理

记。表示第次测量到第次测量之间的间隔时间。在应力下，第个产品在时间区间内的退化增量记为, 则有:

            

其中表示在应力下, 第个产品在时刻的退化量。为了表达方便, 令, 则我们有如下结论:

则有

在引理1和引理2的条件下可得：

由Wiener过程的性质, 很容易得到：

                      ，

因此可构造如下的线性回归模型。由线性回归的相关知识, 可以得到参数a,b,c,d的估计如下:

                  

其中表示求矩阵的行列式，表示下面的矩阵:

       

      

     

        

       

根据多元线性回归的知识, 容易得到下面几条性质:

其中

。

另外,根据引理1和引理2,容易得到参数

和的无偏估计:

             

其中

四、假设检验与区间估计

根据前面的讨论, 容易得到下面的结论

                        

是参数的的置信区间。

                        

是参数的的置信区间。

                       

是参数的的置信区间。

                     

是参数的的置信区间。

                   

是参数的的置信区间。 表示自由度为的卡方分布的上分位数。

为了得到参数和可靠度的广义置信区间, 我们可以利用前面的分布结果

                     

利用上面的分布结论, 可以得到参数的广义枢轴量如下

                        

由于, 令, 根据[24]给的替代方法, 可靠度的广义枢轴量可以通过将中的替换为得到

                      。

记是的上分位数, 则和的置信水平为的广义置信区间为 我们用下列算法得到得到和的广义区间。

算法 1: 和的广义区间。

(1). 根据给定的数据, 计算和。

(2). 生成 。

(3). 计算和。

(4). 重复步骤(2)和(3)次,可分别得到个和。

将个和分别排序: 则的

的分位数可以用来估计。

参考文献：

[1] Meeker W Q, Escobar L A. Statistical Methods for Reliability Data[M]. New York: John Wiley and Sons, 1998.

[2] Bagdonavicius V, Nikulin M. Estimation in degradation models with explanatory variables[J]. Lifetime data Analysis, 2001, 7(1): 85-103.

[3] Wang L, Pan R, Li X and Jiang T. A Bayesian reliability evaluation method with integrated accelerated degradation testing and field information[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2013, 112: 38-47.

基金项目：基于寿命数据评价产品可靠性的若干方法研究(2021xkjq006)

小样本下Youden指数的统计推断方法研究(gxyq2022083)

基于大学生满意度的教学质量调查研究——以黄山学院为例，(2022jyxm1482)