动量守恒中的“碰撞”和“人船”模型拓展

赵相争

内容摘要：碰撞和人船是动量守恒中的重要内容，教材中介绍的三类碰撞的结果是按动能的损失分类的，而其拓展的情境有很多，特别是符合完全非弹性碰撞数学关系的情境更多。人船问题多讨论的是位移关系，关键是理解什么是相对位移，什么是对地位移，而好多看似图形相同，但初始条件不同，就是不同的类型，我们将这些问题中数学关系一致的，归纳为一种模型，总结出来，可让学生在学习和解题过程中有依据，并迅速运用数学方法，这些也是我们老师的责任。

关键词：碰撞，二合一，人船、相对位移，数学关系，初始条件

正文：

高中物理中的动量守恒的类型中包括：碰撞、反冲、人船等。其中碰撞类最多，大约占到60-70%的情境和题目，碰撞的结果是按动能的损失分类的，而其拓展的情境有很多，尤其是完全非弹性碰撞，只要速度相同，那怕只是一瞬间也符合完全非弹性碰撞的结果，完全非弹性碰撞是动能失最多的情况，在水平（单方向）动量守恒中，二者速度相同时，损失的动能暂时以重力势能或弹性势能储存，然后释放出来，完成三类碰撞的循环。人船问题与反冲有相同的地方，有的老师也会把人船问题归纳到反冲类型当中，但人船问题多讨论的是位移关系，有着独立的研究方向，关键是理解什么是相对位移，什么是对地位移，并且其拓展的情境也是很深刻的，好多看似相同的图形，由于初始条件不同，就是不同的类型，我们将这些问题中数学关系一致的，归纳为一种模型，总结出来，可让学生在学习和解题过程中有依据，并迅速运用数学方法，这些是我们老师的责任。

第I部分：碰撞模型及其拓展

一、三类碰撞介绍：

1.弹性碰撞（动量守恒，且动能守恒）

所谓“弹性”，是指的碰撞中的形变可以完全恢复，没有机械能的损失，具体说是没有动能的损失。以“一动碰一静”为例：假设物体m1 以速度v1 与原来静止的物体m2碰撞，碰撞过程是弹性的，碰后它们的速度分别为和，

此过程满足的关系是：

解此方程组可得：

一动碰一静的弹性碰撞结论就是上述两个表达式，我们要记住的是哪个是“一动”，哪个是“一静”。并且要知道它们两个对应的方向。当m12时，m1要原路返回，当m1=m2时，两者交换速度。

2.完全非弹性碰撞

完全非弹性的本质是碰撞中形变不能恢复，从表面看是二者合为一体，速度相同，相对静止，称之为“二合一”模型。这类过程的动量和能量特征是：（1）系统动量守恒；（2）系统动能损失最大。按照一动碰一静类，我们可以列出动量和动能的关系式：

动量守恒：

动能损失：

3.一般碰撞

此类碰撞满足动量守恒，动能有一定的损失，但不是最多，其力学关系是一个动量守恒关系，碰后的两速度值往往给定其中一个值，

下面我们介绍一下上述三种模型的推广。

二、碰撞模型拓展：

拓展一：弹簧连接体，如图1：

（1）当弹簧压缩到最短或拉伸到最长时，相当于完全非弹性碰撞，损失的动能转化为弹簧的弹性势能

（2）当弹簧恢复原长时，相当于弹性碰撞结束；（3）在其他位置时，相当于一般碰撞；

拓展二：小球与弧面小车，如图2:

在光滑水平面上停放着质量为m装有弧形槽的小车，现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿切线水平的槽口向小车滑滑去（不计摩擦），到达某一高度后，小球又返回小车后端，首先我们确定，小球和小车满足水平方向动量守恒，总机械能守恒，但动能不守恒，我们按动能的变化分类：

（1）当小球升到最高时，二者水平速度相同，相当于完全非弹性碰撞，损失的动能转化为小球的重力势能

（2）当小球返回底端时，相当于弹性碰撞结束；注意碰撞前的动和静“身份”，对应碰后的和。

（3）在其他位置时，相当于一般碰撞；

3、拓展三：

如右图3，光滑水平直杆固定，上面穿一小环，小环下面用细线系一小球，给小球或小环一初速度，首先我们确定，小球和小环满足水平方向动量守恒，总机械能守恒，但动能不守恒，以后的运动过程也属于碰撞关系，我们按动能的变化分类：

各自的速度按碰撞方程得出的结果，

（1）当小球升到最高时，二者水平速度相同，相当于完全非弹性碰撞，损失的动能转化为小球的重力势能。

（2）当小球返回底端时，相当于弹性碰撞结束；注意碰撞前的动和静“身份”，对应碰后的和。

（3）在其他位置时，相当于一般碰撞；

下面介绍人船模型及其拓展。

第Ⅱ部分：人船模型及其拓展

一．“人船问题”的原始模型

如图4，人的质量为，船的质量为，船长为L，静止在水面上，认为水对船的阻力为零，人和船在运动中满足动量守恒。

两边对时间积累，得:

又因为：，得：

在这里，我们可以把上式中的X称为对地位移，而把L称为相对位移，不要总把L称为船长，即便称之为等效船长也不到位，就应该称之为相对位移，其拓展情境有下列两种情况：

二、人船模型拓展：

拓展1：小球与弧面小车，

如图5:小车弧面为四分之一圆弧，开始时小车静止，小球也由静止开始从小车顶端滑下，二者水平动量守恒，且总动量为零，小球滑到小车底端时，两者对地位移之和等于圆弧半径，在这里，圆弧半径相当于“船长”，即二者的相对位移。

拓展2：小球与套在光滑横杆上的小环：

如图6：在足够长的光滑固定横杆上套有一质量为m1的圆环，一根长为L的细绳一端系在圆环上， 另一端拴住一质量为m2的小球，将细绳拉直，小球从横杆处同静止释放。下面我们讨论以后的运动过程中环的球速度位移关系：

首先，球和环在水平方向上外力为零，满足水平动量守恒，再寻找“人船模型”中的相对位移和对地位移：

（1）在小球下摆到圆环下方时，两者相对位移为L，故各自对地位移为：

（2）在不球摆到环的左侧横杆处时， 两者相对位移为2L

在这里有必要交待一下，第一，小球能摆到环的左侧横杆上吗，答案是能的，试想，两者总动量为零，且机械能守恒，当两者速度均为零时，小球的重力势能当然恢复原值，能到环的左侧横杆处；第二，相对位移为什么是2L呢？我们以小环为参考系，小球从右侧摆到左侧，相对位移不就是2L吗。这个相对位移也是人船模型中的“船长”。

综上所述，碰撞模型和人船模型动量守恒中是很多见的，题目也千变万化，但我们只要认清“模型”，用好数学关系，为类问题也会轻松掌握。