矩阵等价和向量组等价的区别与联系

吴丹尧 张静 陈伟

摘要：探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别与联系，并给出等价矩阵的行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

关键词：矩阵等价、向量组等价、初等行变换

中图法分类号：O 151. 24

一、引言

矩阵和向量组是线性代数这门课程中两个基本的概念，两者之间有着紧密的联系：一方面，一个矩阵对应着唯一一组列（行）向量组；另一方面，列（行）向量组以给定的顺序排列得到唯一的矩阵。 此外，两个向量组的等价的问题可以将其转化成两个矩阵等价的问题来判定。正由于矩阵和向量组之间特殊的关系，使得许多同学混淆了矩阵等价和向量组等价这两个不同的概念。为了使学生们更好地分辨矩阵等价和向量组等价，我们深入探讨等价向量组和等价矩阵的区别与联系，并给出两个矩阵在等价时其行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

二、已知结论

为了更好地探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别和联系， 下面给出一些已知的结论。

首先给出矩阵的初等变化的定义。

矩阵的初等变换分为三类：交换矩阵两行（或列）；矩阵某一行（或列）的所有元素同乘以非零数；矩阵某一行（或列）的所有元素乘以数后加到另一行（或列）的对应元素上。这三类初等变换都是可逆变换。

1、矩阵等价

定义1：若矩阵可由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与矩阵等价，记为。

由等价矩阵的定义可知：等价矩阵必须为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数对应相等。

定义2：在矩阵中任意取其行列，则位于这些行和列交叉的个元素，按照其在的位置顺序排列得到的阶行列式，成为矩阵的阶子式。

定义3：矩阵最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记作。

下面给出等价矩阵的相关结论。

定理4：矩阵等价于矩阵的充要条件为。

由初等变换和初等矩阵之间的关系以及初等矩阵和可逆矩阵之间的关系可得两个等价矩阵之间的等式。

定理5： 矩阵等价于矩阵等且仅当存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。

此时，可逆方阵、的选择不是唯一的。

2、向量组等价

定义6：设有两个维向量组

若存在矩阵，使得

成立，则称向量组可以由向量组线性表示。

定义7：若向量组与向量组可以相互线性表示，则称向量组与向量组等价。

由向量组等价的定义可知：两个等价的向量组所含的向量个数不一定相等。

定义8：设有向量组是向量组的一个部分组，且满足

(i) 向量组线性无关；

(ii) 向量组的其余向量能由向量组线性表示，

则称向量组是向量组的一个最大无关组， 向量组所含的向量个数称为向量组的秩，记作。

矩阵的秩和其行(列)向量组的秩分别用了不同的方式来定义，但是有以下结论成立。

定理9矩阵的秩等于其行(列)向量组的秩。

向量组的秩也记作。

下面给出两个向量组等价的相关结论。

定理10： 向量组与向量组等价当且仅当向量组能由向量组线性表示，且它们的秩相等。  

定理11：矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组当且仅当；矩阵的列向量组等价于矩阵的列向量组当且仅当.

定理12： 矩阵的行向量组（或列向量组）等价于矩阵的行向量组（或列向量组）当且仅当矩阵可经初等行（或列）变换变成矩阵。

此外，可将上述定理换一种方式陈述。

定理13：矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组当且仅当存在阶可逆方阵满足；矩阵的列向量组等价于矩阵的列向量组当且仅当存在阶可逆方阵满足。

三、等价矩阵与等价向量组的区别与联系

一个含有有限个向量的向量组可以构成一个矩阵。反之，一个矩阵可以看作由有限个行向量（或列向量）所构成的向量组。可见，矩阵与向量组在形式上能够相互转换。因此，可用矩阵讨论向量组的有关问题。

两个等价的矩阵是同型矩阵，而两个等价的向量组所含向量个数不一定相同，此时由这两个向量组构成的矩阵不一定同型。为了更容易得到等价向量组与等价矩阵的区别和联系，我们对两个向量个数不同的向量组做如下处理：设为两个维向量组，其中。在向量组的后面依次添加个向量，得到新向量组。显然有，向量组与向量组等价当且仅当向量组与向量组等价，且由向量组和向量组构成的矩阵为同型矩阵。后面谈向量组的等价问题时，我们将其视为两个同型矩阵的行向量组（或列向量组）的等价问题。

我们将已知结论汇总得到下面的表格。

	矩阵等价于矩阵	矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组	矩阵的列向量组等价于矩阵的列向量组
充要条件1
充要条件2	存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。	存在可逆方阵满足。	存在可逆方阵满足。

1、等价矩阵与等价向量组的区别

(1) 从秩出发：

矩阵等价于矩阵时，意味着。矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组时意味着；矩阵的列向量组等价于矩阵的列向量组时，意味着。

(2) 从初等变换出发：

矩阵等价于矩阵时，意味着矩阵可经过有限次初等变换（行变换或列变换）化成矩阵。矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组时，意味着矩阵经过有限次初等行变换（仅用行变换）化成矩阵；矩阵的列向量组等价于矩阵的列向量组时，意味着矩阵

经过有限次初等列变换（仅用列变换）化成矩阵。

(3) 从可逆矩阵出发：

矩阵等价于矩阵时，意味着存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组，意味着存在阶可逆方阵满足，此时要求等式成立时，矩阵右乘单位矩阵；矩阵的列向量组等价于矩阵的列向量组，意味着存在阶可逆方阵满足，此时要求等式成立时，矩阵左乘单位矩阵。

2、等价矩阵与等价向量组的联系

矩阵的行向量组（或列向量组）等价于矩阵的行向量组（或列向量组）则矩阵等价于矩阵。那么等价矩阵、在满足什么条件下，矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组？我们给出了下面的定理。

定理14：、为同型矩阵，若存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足，则矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组充要条件为存在阶可逆方阵，使得。

证明：（必要性）若存在阶可逆方阵满足，则由可得

即矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组。

（充分性）若矩阵的行向量组等价于矩阵的行向量组，则存在可逆矩阵使得。又因为，可得，即。取，则成立。

同理，我们可以证明下面结论。

定理15：、为同型矩阵，若存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足，则矩阵的列向量组等价于矩阵的列向量组充要条件为存在阶可逆方阵，使得。

参 考 文 献

[1]、周勇. 线性代数. 北京，北京大学出版设，2020.

[2]、谢永东. 判定向量组等价性的一个充分条件[J], 工科数学, 1997, 13(2): 150-151.

[3]、华玉爱. 向量组等价性的判定定理[J], 山东轻工业学院学报, 1998, 12(2): 80-82.

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[1] 作者简介：吴丹尧 （1988-），女，汉族，广东省茂名人，东莞理工学院讲师，博士，研究方向：数论.