“变”与“不变”在矩阵的初等变换的思政设计中的体现

刘瑞杰

摘要：随着课程思政在军校《工程数学》课程中的不断普及和发展，大多数教员都在有意识地挖掘思政元素，进行思政设计.但针对某些较抽象的内容，却存在无处思政或思政过于生硬的情况.本文以“变”与“不变”关系为主线，结合军校教育的特殊性，谈一谈《工程数学》课程中矩阵的初等变换的思政设计.

关键词：变、不变、矩阵、初等变换、思政

矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在求解线性方程组、求逆矩阵、探讨矩阵相关理论，求向量组的最大无关组及秩等问题中有着举足轻重的地位.

从哲学的角度看，“变”与“不变”相互依赖、相互依存，并在一定条件下相互转化.在实践中，要把“变”与“不变”有机统一起来，认识与把握不变中有变，变中有不变. 而在矩阵的初等变换中，要重点把握变中的不变关系.

一、线性方程组的求解——“变”与“不变”关系的引出

矩阵的初等变换源于线性方程组的消元法求解，这种方法最早出现在我国古代的《九章算术》中，和今天大家所说的高斯消元法是一致的，时间上却早了一千多年.

针对第八章“方程”篇中的“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何”，可列方程组如下：

利用算筹计数方式，通过分离变量的方法对方程组进行抽象，并借助“遍乘直除”法进行求解，这就是后来消元法的雏形. 而“遍乘直除”法本质上也是矩阵的初等变换.通过方程组的消元过程，带领学员一起感受消元法与初等变换之间的关系：

通过回代，可求得该线性方程组的解为

设置思考：消元过程中，方程组的形式一直在变，为什么解却没有改变？以此引发学员的思考.通过对消元过程中方程所做的对换、倍乘及倍加三种变换进行分析，得出这三种变换是同解变换，不会改变方程组的解的结论.至此，“变”与“不变”的关系就引出来了.

二、矩阵的初等变换——“变”与“不变”关系的深入

通过观察，大家不难发现，在上述消元过程中，仅仅只是对线性方程组的系数和常数进行运算.若把线性方程组的增广矩阵记为，则对线性方程组的变换完全可以转化为对矩阵的变换，过程如下：

上述变换过程中，出现了矩阵的三种类型的变换：

（1）对换变换，

（2）倍乘变换，

（3）倍加变换，

上面三种变换称为矩阵的初等行变换.

初等列变换：，，，与初等行变换统称为初等变换.

对继续进行初等行变换可化为行最简形

若对进行初等列变换，可得到标准形

根据矩阵的等价关系，有.在这一系列相互等价的矩阵中，矩阵一直在变，且行最简形矩阵形式不惟一，但是行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形中的非零行行数是惟一确定的，再次印证了“变”与“不变”的关系， 而这个“不变”的东西就是矩阵的秩.

三、矩阵的秩——“变”与“不变”关系的升华

矩阵的秩的定义从阶子式入手，理解起来较直观. 但对于行数、列数较大的矩阵，计算量太大，可以用初等变换法求秩. 初等变换不改变非零子式的最高阶数，也就是不改变矩阵的秩. 矩阵在变，但秩不变，体现的仍然是“变”与“不变”的关系.

回望中国共产党的百年奋斗历程，变的是时代，不变的是初心. 2020年6月27日，在中国共产党成立99周年之际，习近平总书记给复旦大学《共产党宣言》展示馆党员志愿服务队全体队员的回信中指出：“心有所信，方能行远. 面向未来，走好新时代的长征路，我们更需坚定理想信念、矢志拼搏奋斗.”习近平总书记以此勉励广大党员，尤其是青年党员，唯有进一步坚定理想信念，矢志拼搏奋斗，才能更好地肩负起历史重任，走好新时代的长征路.

四、小结

“变”与“不变”的关系在《工程数学》中多处都有体现，牢牢把握这条主线对内容展开讲解，逻辑上更清晰. 在后续内容，如向量组的最大无关组及秩，二次型的标准形及秩等内容中也能找到“变”与“不变”身影.

参考文献：

[1] 工程数学-线性代数第七版[M]，同济大学数学科学学院编，高等教育出版社，2023. 06.

[2] 基于课程思政的高等代数教学研究[J]，张俊忠，韦维，西南师范大学学报（自然科学版），2022.10.

[3] 线性代数课程思政教学的案例探索与实践[J]，范莉霞，陈明，嘉兴学院学报，2022.11.

作者简介：刘瑞杰（1986— ），女，副教授，河南开封人，硕士研究生，主要方向为智能计算.